【线性代数】Moore-Penrose 伪逆 - 代码天地

【线性代数】Moore-Penrose 伪逆

其他 2018-08-10 05:16:50 阅读次数: 0

提到矩阵的逆，其背景是我们要求解线性方程 $\bf Ax = y$ , 如果矩阵 $\bf A$ 有逆矩阵的话，那么 $\bf x = A^{-1}y$ , 解起来，轻松加愉快。但问题是，想要 $A^{-1}$ 存在且能求出来，这个条件太苛刻了。

如果 $A$ 的行数大于列数，那么方程可能没有解
如果 $A$ 的行数小于列数，那么方程可能有无数多个解
即使 $A$ 是个方阵，那也可能无解，可能有唯一的解，可能有无穷多解

就像方阵可以特征分解，非方阵造出来一个非奇异分解；那么满秩方阵可以求逆，那其他不满足条件的也要有一个类似的求逆的方法，其中一种叫做 Moore-Penrose 伪逆（Moore-Penrose pseudoinverse）。一个任意矩阵 $A$ 的伪逆定义为，

A^{+} = lim_{α \to 0} (A^{T} A + α I)^{- 1} A^{T}

$\bf A^+ = \lim _{\alpha \to 0} (A^TA + \alpha I)^{-1}A^T$ . 定义是定义，实际计算中，是使用这个公式

A^{+} = V D^{+} U^{T}

$\bf A^+ = VD^+U^T$ . 其中，矩阵

U, D, V

$\bf U,D,V$ 是矩阵

A

$A$ 进行奇异值分解后得到的，对角矩阵

D

$D$ 的伪逆

D^{+}

$\bf D^+$ 是其非零元素取倒数之后再转置得到的。

当 $A$ 的行数大于列数，那么方程可能没有解。通过伪逆得到的 $\bf x$ 是满足欧氏距离 $\Vert \bf Ax-y \Vert_2$ 最小的解
当 $A$ 的行数小于列数，使用伪逆求解线性方程式众多可能方法中的一种。具体地， $\bf x = A^+y$ 是方程所有可行解中， $\Vert x \Vert_2$ 最小的一个

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转载自blog.csdn.net/baishuo8/article/details/81369567

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