题目描述
学校要进行合唱比赛了,于是班主任小刘准备给大家排个队形。
他首先尝试排成 m1 行,发现最后多出来 a1 个同学;接着他尝试排成 m2 行,发现最后多出来 a2 个同学,……,他们尝试了 n 种排队方案,但每次都不能让同学们正好排成 mi 行。于是小刘寻求同事小明的帮助,以便给同学们排好队型。但小刘来去太匆忙,忘记告诉小明他们班有多少人了。没办法,现在只能根据上述信息求个满足要求的最小的数字来作为人数了。
虽然小明年轻时是理科生,但是他不愿意去思考这个问题;于是他找到了善于编程的你,希望你能通过编程来解决。
输入
第一行为一个整数 n,表示小刘尝试了 n 种排队方案。
接下来 n 行,每行有两个整数 mi,ai,表示小刘在第 i 种排队方案中,尝试让同学排成 mi 行,最后多出来 ai 个同学。
输出
每个输出文件只有一个整数,表示最少学生数,如果找不到这样的整数,说明小刘口误了,输出 - 1。
样例输入
3
3 1
5 1
7 2
样例输出
16
题解
对于任意一个 x%a=b, 都可以写成 x=ya+b 的形式
对于两个方程 x=y1*a1+b1 和 x=y2*a2+b2 联立可得 y1*a1-y2*a2=b2-b1 的形如 ax+by=c 的形式,我们便可以求出一组特解 y1,y2, 算出 x%lcm(a1,a2)=b
联立每一个同余方程,最后得到的一个方程 x%a=b 的 x 最小解就是 b
代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,mi[12],ai[12];
ll gcd(ll a,ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){x=1,y=0;return;}
exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
return;}
ll excrt(){
ll a1=mi[1],b1=ai[1];
for(int i=2;i<=n;i++){
ll a2=mi[i],b2=ai[i];
ll a=a1,b=a2,c=b2-b1,t,x,y;
t=gcd(a,b);
if(c%t) return -1;
a/=t;b/=t;c/=t;
exgcd(a,b,x,y);
x=((c*x)%b+b)%b;
b1=x*a1+b1;
a1=a1*b;}
return b1;}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld",&mi[i],&ai[i]);
printf("%lld\n",excrt());
return 0;
}