简单的背包问题

时间限制: 1 秒内存限制: 32 MB
提交: 350 解决: 12

题目描述

相信大家都学过背包问题了吧，那么现在我就考大家一个问题。有n个物品，每个物品有它的重量w，价值v，现在有一个容量为W的背包，问你在不超过背包容量的情况下，能装下的物品的最大价值是多少。

T <= 100代表样例数
1 <= n <= 100 物品数
1 <= W <= 100000 背包的容量
1 <= wi <= 100000 每个物品的重量
对于每个i=2,3,…,N, w1 ≤ wi ≤ w1+3.
1 <= vi <= 100000 每个物品的价值

输入

输入格式：

T
n W
w1 v1
w2 v2
:
wn vn

输出

输出占一行，代表最大能装下物品的价值。

样例输入

样例输出

11
13

题解：猛一看是一个01背包问题，但是数据范围很大，用01背包的复杂度是O(T*n*W)，这样会超时
仔细读题会发现每一个物品的重量是有限制的，w1 <= wi <= w1 + 3，这个的意思就是物品的重量只有四种
那么我们把四种物品放到四个数组里，然后按价值排序，然后再用一个四重循环枚举每一个物品的个数，
这样就能得到最大价值。最坏的复杂度是 O(n/4)^4

下面是标准代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;


LL A[110],B[110],C[110],D[110];

bool cmp(LL a,LL b)
{
    return a > b;
}
int main(void)
{
    int T;
    LL a,b,c,d;
    LL n,i,j,k,l;
    LL w1,v1;
    LL W,w,v;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&W);
        a = b = c = d = 0;
        scanf("%lld%lld",&w1,&A[++a]);
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&w,&v);
            if(w == w1)
                A[++a] = v;
            else if(w == w1+1)
                B[++b] = v;
            else if(w == w1+2)
                C[++c] = v;
            else if(w == w1+3)
                D[++d] = v;
        }
        sort(A+1,A+1+a,cmp);
        sort(B+1,B+1+b,cmp);
        sort(C+1,C+1+c,cmp);
        sort(D+1,D+1+d,cmp);
        A[0] = B[0] = C[0] = D[0] = 0;
        for(i=2;i<=a;i++)
            A[i] += A[i-1];
        for(i=2;i<=b;i++)
            B[i] += B[i-1];
        for(i=2;i<=c;i++)
            C[i] += C[i-1];
        for(i=2;i<=d;i++)
            D[i] += D[i-1];
        LL ans = 0;
        for(i=0;i<=a;i++)
        {
            for(j=0;j<=b;j++)
            {
                for(k=0;k<=c;k++)
                {
                    for(l=0;l<=d;l++)
                    {
                        LL sum = w1*i + (w1+1)*j + (w1+2)*k + (w1+3)*l;
                        if(sum <= W)
                        {
                            ans = max(ans,A[i]+B[j]+C[k]+D[l]);
                        }

                    }
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}