这是LeetCode的第873题。
在斐波那契序列中，第n个数字等于第n-1个数字与第n-2个数字之和。
考虑以数组中第i个数字(记为A[i])为结尾的最长斐波那契序列的长度。对于每一个j（0 <= j < i），A[j]都有可能是在某个斐波那契序列中A[i]前面的一个数字。如果存在一个k（k < j）满足A[k] + A[j] = A[i]，那么这三个数字就组成了一个斐波那契序列。这个以A[i]为结尾、前一个数字是A[j]的斐波那契序列是在以A[j]为结尾、前一个数字是A[k]的序列的基础上增加了一个数字A[i]，因此前者的长度是在后者的长度基础上加1。
我们可以用一个二维数组lengths来记录斐波那契序列的长度。二维数组中第i行第j列数字的含义是以输入数组中A[i]结尾、并且前一个数字是A[j]的斐波那契序列的长度。如果存在一个数字k，满足A[k] + A[j] = A[i]，那么lengths[i][j] = lengths[j][k] + 1。如果不存在满足条件的k，那么意味这A[j]、A[i]不在任意一个斐波那契序列中,lengths[i][j]等于2。
二维数组lengths中的最大值就是输出值。
下面是这种思路的参考代码：
这种解法实质上应用了动态规划的思路。时间复杂度和空间复杂度都是O(n^2)。
上述代码中用到了一个哈希表numToIndex来记录每个数字在数组中的下标。有了这个哈希表我们即可以快速（O(1)时间）判断数组中是否存在一个数字A[k]满足A[k] = A[i] - A[j]。由于输入数组是严格递增排序的，我们也可以用二分查找算法来确定是否存在符合条件的A[k]。如果采用二分查找，那么就不需要哈希表了，但时间复杂度将会增加到O(n^2*log(n))。应用哈希表相当于用空间换时间。