定义

$1$~$N$中与$N$互质的数的个数叫欧拉函数，记为$\varphi(N)$
对$N$分解质因数$N=p_1^{c_1}*p_1^{c_1}*...*p_k^{c_k}$
则有$\varphi(N)=N*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{p_k})$

证明

首先显然$1$~$N$中与$N$互质的数就是
$1-N$中不与$N$含有相同质因子的数

那么先简单分析$N$只有两个质因子的情况
假设$p,q$为$N$的质因子
那么$1$~$N$中p的倍数有$\frac{N}{p}$个，q的倍数有$\frac{N}{q}$个
我们自然要筛掉这些数$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}$

但是注意到这里面$p*q$的倍数被减了两次
根据容斥原理，当然还要加回来
得$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}$

对这个式子稍作变换
$N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$
$N*(1-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}+\frac{1}{pq})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Downarrow$
$N*(1-\frac{1}{p})*(1-\frac{1}{q})$
只有两个质因数的情况证毕
到这里再用数学归纳法就可以拓展出上述得式子了

实现

根据上述函数定义式
可以得到一个在分解质因数时同时求解单个欧拉函数的方法
时间复杂度为$O(\sqrt{N})$

int phi(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i<=sqrt(n);++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

当然我们还可以有递推打表的计算
类似埃式筛法
每枚举到一个质数，就更新他的所有倍数的phi值
复杂度约为$O(NlogN)$

void euler(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;++i) phi[i]=i;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(phi[i]==i)//发现一个质数
        for(int j=i;j<=n;j+=i)//处理("筛")他的倍数
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
    }
}

既然有类似埃式筛的递推方法
那么自然也不会少了线性筛

利用线性筛递推求解phi需要用到欧拉函数的两个性质
1.若有$p\mid N$，且满足$p^2\mid N$，则$\varphi(N)=\varphi(N/p)*p$
2.若有$p\mid N$，且一定不满足$p^2\mid N$，则$\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)$
这两条性质会在接下来给出证明

线性筛中每个合数n只会被他的最小质因子p筛一次
于是我们利用这点从$\varphi(N/p)$递推到$\varphi(N)$

复杂度为$O(N)$

void euler(int n)
{
    memset(mi,0,sizeof(mi));//保存最小质因子
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(mi[i]==0)
        {
            mi[i]=i; prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(mi[i]<prime[j]||prime[j]*i>n)break;
            //在线性筛的基础上，加入i是否有比prime[j]更小的质因子的判断
            mi[i*prime[j]]=prime[j];//更新最小质因子

            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
            //利用上述性质更新
        }
    }
}

欧拉函数的性质

1.$\forall N>1$，$1$~$N$中与$N$互质的数的和为$N*\varphi(N)/2$

证明

若有$x\in[1,N]$且$gcd(N,x)=1（即N与x互质）$
根据更相减损术有$gcd(N,x)=gcd(N,N-x)$

即$1$~$N$中与$N$互质的数是成对出现的，对称轴就是$N/2$
也就是说$1$~$N$中与$N$互质的数的平均值是$N/2$
而总和就是$N*\varphi(N)/2$
证毕

2.（1）当$a，b$互质时，有$\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)$
（2）对$N$分解质因数$N=p_1^{c_1}*p_1^{c_1}*...*p_k^{c_k}$，则有$\varphi(N)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{c_i})$

证明

这里的两条性质其实是直接应用了积性函数的性质
什么是积性函数
如果当$a，b$互质时，有$f(a*b)=f(a)*f(b)$，则$f(x)为积性函数$
上述（1）是直接应用了定义
而（2）中将N分解质因数，显然分解的每一项都两两互质
根据积性函数定义也不难得出上述式子

3.（1）若有$p\mid N$，且满足$p^2\mid N$，则$\varphi(N)=\varphi(N/p)*p$
（2）若有$p\mid N$，且一定不满足$p^2\mid N$，则$\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)$

证明

上述（1）中”若有$p\mid N$，且满足$p^2\mid N$”
说明N和N/p含有相同质因子
我们分析只含有两个质因子p和q的简单情况
$\varphi(N)=N-\frac{N}{p}-\frac{N}{q}+\frac{N}{pq}$
$\varphi(N/p)=\frac{N}{p}-\frac{N}{p^2}-\frac{N}{pq}+\frac{N}{p^2q}$
二者相除商为p
用数学归纳法扩展出k个质因子的情况可以得到相同结果

上述（2）中 “若有$p\mid N$，且一定不满足$p^2\mid N$”
说明$N$和$N/p$一定互质
根据积性函数定义有$\varphi(N)=\varphi(N/p)*\varphi(p)$
因为p为素数，所以$\varphi(p)=p-1$
得$\varphi(N)=\varphi(N/p)*(p-1)$
证毕

4.$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$

证明

设$f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
若有n，m互质，那么$f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=\sum_{d|n}\varphi(d)*\sum_{d|m}\varphi(d)$
可得$f(n)$为积性函数

对于n的某个质因子$f(p^k)=\sum_{d|p^k}\varphi(d)=varphi(1)+varphi(p)+varphi(p^2)+...varphi(p^k)$
由上述3.（1）知该式为一个等比数列+1，公比为p
更具等比数列求和公式得$f(p^k)=p^k$

所以$f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p^k)=\prod_{i=1}^kp^k=n$
证毕

5.欧拉定理及其推论
若正整数$a,n$互质，则有$a^{\varphi(n)}\equiv 1(\mod n)$
若正整数$a,n$互质，则对于任意正整数b，有$a^b\equiv a^{b\mod \varphi(n)}(\mod n)$