关于欧拉函数Phi&&BZOJ2190

欧拉函数(φ)phi是OI中很重要的一块知识点，经常出现在各种数论题目里，所以这里就讲一下phi的求法以及最简单的应用。

φ(n)的含义是在1~n中与n互质的数的个数。那么这里有一个十分明显的结论，就是如果x为质数，则φ(x)=x-1,因为1~x-1都与x互质，都不是x的因数。下面我将介绍更多的关于phi的结论。

结论1：若x为质数，φ(x)=x-1（如上文）

结论2：若p为质数，k>1,则φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=(p^k)*(1-1/p)。这个结论也十分容易证明，因为如果这个数为p^k,则与它不互质的数只必须有因数p，而包含p的是1×p,2×p……(p^(k-1))×p共p^(k-1)个。

结论3：phi是积性函数，所以若x和y互质，则φ(xy)=φ(x)φ(y)

结论4：(由结论2扩展可知)，对于任意大于1的数，将其分解质因数得x=∏pi^ki。所以φ(x)=x*∏(1-1/pi)。

我们利用结论3，就可以进行线性筛欧拉函数，我们在进行欧拉筛的时候顺便进行欧拉函数的筛选，我们先看最普通的欧拉筛代码。

pri[0]=pri[1]=1;pri[2]=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!pri[i]) b[++top]=i;
    for(int j=1;j<=top;j++){
        if(i*b[j]>n) break;
        if(i%b[j]){pri[i*b[j]]=1;}
        if(i%b[j]==0){pri[i*b[j]]=1;break;}
    }
}

我们发现(i%b[j])的情况也就是i和b[j]互质的情况，所以这时直接phi[ib[j]]=phi[i]phi[b[j]]即可。

那么对于(i%b[j]==0)的情况呢？这时phi[ib[j]]=phi[i]b[j],这里证明就不展开了

pri[0]=1;pri[1]=1;pri[2]=0;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!pri[i]){
            b[++top]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=top;j++){
            if(i*b[j]>n) break;
            pri[i*b[j]]=1;
            if(i%b[j]) phi[i*b[j]]=phi[i]*phi[b[j]];
            else{
                phi[i*b[j]]=phi[i]*b[j];break;
            }
        }
    }

这一段就是求phi的过程，可知我们就是在欧拉筛的过程中加上了求phi的语句。

有些时候不需要线性求phi，则我们直接用结论4即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 40006
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int n,m,b[MAXN],pri[MAXN],phi[MAXN],top;
int main()
{
    n=read(),m=read();
    pri[0]=1;pri[1]=1;pri[2]=0;phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!pri[i]){
            b[++top]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=top;j++){
            if(i*b[j]>n) break;
            pri[i*b[j]]=1;
            if(i%b[j]) phi[i*b[j]]=phi[i]*phi[b[j]];
            else{
                phi[i*b[j]]=phi[i]*b[j];break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read();printf("%d\n",phi[x]);
    }
    return 0;
}

一道简单的求phi题，BZOJ2190

Description
作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。
这里写图片描述
现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。
Input
　　共一个数N。
Output
　　共一个数，即C君应看到的学生人数。
Sample Input
　　4
Sample Output
　　9
Hint
【数据规模和约定】　对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

这题很明显，我们先去掉最左边的一行和最下面的一行，将答案加2，然后剩下的点(其横纵坐标均-1)，如果其x和y互质，则这个点时可以被看到的，因为很明显若x=bq,y=bp(b>1)，则(q,p)会挡住(x,y)。所以我们直接累加phi值即可。


#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXN 40006
using namespace std;
ll read(){
    char c;ll x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
ll n,m,b[MAXN],pri[MAXN],phi[MAXN],top,ans;
int main()
{
    n=read();
    if(n==1){puts("0");return 0;}
    pri[0]=1;pri[1]=1;pri[2]=0;phi[1]=1;
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        if(!pri[i]){
            b[++top]=i;phi[i]=i-1;
        }
        for(ll j=1;j<=top;j++){
            if(i*b[j]>n) break;
            pri[i*b[j]]=1;
            if(i%b[j]) phi[i*b[j]]=phi[i]*phi[b[j]];
            else{
                phi[i*b[j]]=phi[i]*b[j];break;
            }
        }
    }
    ans=2;
    for(ll i=1;i<=n-1;i++) ans+=phi[i]*2;
    printf("%lld",ans-1);
    return 0;
}