在前几篇笔记中,我们推导了傅里叶级数相关公式,这次的笔记将进行傅里叶变换的推导
傅里叶变换的核心思想是:将任意非周期函数看作周期无限长的周期函数,因此可以调用傅里叶级数的相关公式
我们不妨设
f(t)
为周期
T
的信号函数,先导出:
f(t)=∑k=−∞∞Cke2πik(tT)=∑k=−∞∞Cke2πi(kT)t(1)
运用和傅里叶级数的系数推导过程相同的方法(详见傅里叶级数推导过程中的
Ck
推导),我们有:
∫T2−T2Cmdt=∫T2−T2f(t)e−2πim(tT)dt−∑k≠mCk∫T2−T2e2πi(k−m)(tT)dt=∫T2−T2e−2πim(tT)f(t)dt−0=∫T2−T2e−2πi(mT)tf(t)dt
等式左边为
TCm
,因此对于任意k,我们移项后可以得到:
Ck=1T∫T2−T2e−2πi(kT)tf(t)dt(2)
我们假设函数在区间
[a,b]
内大于等于零,其余均为零,则我们令周期大于等于
a−b
的长度,并将其包围,如下图
接下来,我们正式开始推导傅里叶变换
注意,当
T→∞
时,如果我们直接用
(2)
式进行推导:
Ck=1T∫T2−T2e−2πi(kT)tf(t)dt=1T∫bae−2πi(kT)tf(t)dt
当我们对
Ck
取模时(由高等数学知识,我们知道积分的绝对值小于等于绝对值的积分),
|Ck|≤1T∫ba∣∣e−2πi(kT)t∣∣|f(t)|dt
由欧拉公式,我们可以知道
eix
的模长总为
1
(复数的模长等于其实部与虚部的平方的平方根),因此我们有:
|Ck|≤1T∫ba|f(t)|dt
等式的右边的积分
∫ba|f(t)|dt
为定积分,因此当
T→∞
时,
Ck→0
显然这个结果对实际应用而言毫无意义,直接带入并求极限并不能得到我们需要的结果。因此我们换用以下方式:
首先,我们定义
Ff(kT)=∫T2−T2e−2πi(kT)tf(t)dt
那么
(2)
、
(1)
式就可以分别改写为:
Ck=1TFf(kT)
f(t)=∑k=−∞∞1TFf(kT)e2πi(kT)t
我们发现,当
T→∞
时,
1T
就成为了一个连续变量的
Δs
,而
kT
就可以写为自变量
s
(这里我们将其设为
s
),不难发现,这就是我们对于积分的定义。因此,当
T→∞
时,我们有:
f(t)=∫∞−∞e2πistFf(s)ds(3)
Ff(s)=∫∞−∞e−2πistf(t)dt(4)
放到信号系统中,
t
表示时间,
s
代表频率,因此,就有了时域和频域的区别;
但是要注意的是傅里叶变换并不一定是时间和频率的关系,其他变量也可以作为傅里叶变换的对象,如空间坐标
x
等等
由
(4)
、
(3)
两式,我们可以得到傅里叶变换及傅里叶逆变换:
Ff(s)=∫∞−∞e−2πistf(t)dt
F−1g(t)=∫∞−∞e2πistg(s)ds