本文学习资源来自《概率论基本(李贤平)》
条件概率
定义
设
(Ω,f),P
是一个概率空间,
B∈f
,而且
P(B)>0
,则对任意
A∈f
,记:
P(A|B)=P(AB)P(B)
并称
P(A|B)
为
在事件
B
发生的条件下事件
A
发生的条件概率(conditional probability)。
若未经特别指出,今后出现条件概率
P(A|B)
时,都假定
P(B)>0
P(AB)=P(B)P(A|B)
,
这个等式被称为概率的乘法公式或乘法定理。
若还有
P(A)>0
, 则也可定义
P(A|B)
,这时有
P(AB)−P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
条件概率性质
首先,不难验证条件概率
P(A|B)
具有概率的三个基本性质:非负性、规范性、完全可加性。
-
P(A|B)≥0
-
P(Ω|B)=1
P(∑∞i=1Ai|B)=∑∞i=1P(Ai|B)
因此,类似于概率,对条件概率也可由三个基本性质导出其它一些性质,例如:
-
P(∅|B)=0
-
P(A|B)=1−P(A¯¯¯¯|B)
-
P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)−P(A1A2|B)
特别当
B=Ω
时,条件概率化为无条件概率,因此把一般的概率看作条件概率也可以。
全概率公式
P(B)=∑i=1∞P(Ai)P(B|Ai)
它是概率论的一个基本公式,有着多方面的应用。
贝叶斯公式
若事件
B
能且只能与两两互不相容的事件
A1,A2,⋯,An
之一同时发生,即
P(Ai|B)=P(Ai)P(B|Ai)∑∞i=1P(Ai)P(B|Ai)
贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用。假定
A1,A2,⋯
是导致试验结果的“原因”,
P(Ai)
称为先验概率,它反映了各种“原因”发生的可能性大小。
条件概率
P(Ai|B)
称为后验概率。