独立事件
1 独立事件
1.1 两个独立的事件
在条件概率中,在已知事件
发生的条件下事件
发生的概率
的计算方法为
,我们对这个公式的理解在之前已经提到过了,即事件
发生后,对事件
的发生机会产生了影响。我们从样本空间的角度来看这个问题,
发生后样本空间缩小到了
包含的结果中,而
中的结果在
中所占的比例和之前不同了。假设样本空间
为:
现在假设事件
为:
假设事件
为:
从样本空间的角度来看,概率
,
,这是因为,
中的结果在整个样本空间占比为
,而在
中的占比为
。由此确实可以看出
的发生对
的发生机会产生了影响。现在假设
为:
不变,那么
,
,我们会发现
,因为
的发生并不影响
的发生机会,这时候我们就称
和
就是独立的。
定义:对于两个事件
和
,若
则称它们是独立的。若两个事件
和
不独立,则称它们是相依的,或互相不独立。
根据独立事件的定义,会得到一个有用的命题:如果
和
独立,那么
和
也独立。(
)
1.2 三个及多个独立的事件
定义:3个事件
,
,
如果满足:
则称,
,
和
是独立的。将独立性的定义推广到多个事件则对于事件
,若对这些事件的任意子集
都满足:
则称这些事件是独立的。最后,对于无限个事件的独立性,如果无限个事件的任意有限个子集都是独立的,则称这无限个事件是独立的。
有时,所考虑的概率试验由一系列子实验组成,例如连续抛掷一枚硬币这个试验,就可以把每掷一次看作一个子试验。在许多场合下,假定任一组子试验的结果不影响其他子试验的结果是合理的。如果真是这样,我们称这些字试验是独立的。更确切地说,如果任意的事件序列
是独立的,则称这一系列子试验是独立的,这里,事件
完全由第
词子试验的结果所决定。
如果各个子试验彼此相同,即各子试验具有相同的(子)样本空间及相同的事件概率函数,那么就称这些试验为重复试验。
另外,如果
和
是一次试验中的两个互不相容事件。那么在连续试验时,事件
在事件
之前发生的概率为:
2 独立与不相容
独立事件与互不相容事件的区别是很大的,如果没有理解概率论公理,样本空间,事件等这些基本概念,有时会将这两个事情搞混,但是如果顺着这些基本概念来看,两者根本没有相似的地方。独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会,而不相容是指事件不可能同时发生(回忆不相容的定义)。
参考资料:《概率论基础教程》Sheldon M.Ross