随机试验与事件
随机试验:为观察随机现象而进行的实验称为随机试验,随机试验应满足以下3个特征:
- 可重复性:可在相同的条件下重复进行
- 结果可知:所有可能的结果不止一个,但是知道有哪些结果
- 不可预测:试验之前无法知道会出现哪个结果
样本空间:随机事件所有可能的集合组成样本空间,用Ω表示
基本事件:随机试验中的一个可能结果。也称样本点,即样本空间中的一个元素。是最小的划分单元
事件:也称复合事件,包含多个基本事件。是样本空间的子集
事件域:若A、B是事件,则A、B的交、并、差也应该是事件,这些事件放在一起称为事件域
注:基本事件中有两个特别的事件。必然事件,用Ω表示(是不是发现跟样本空间的表示一样,这是因为样本空间表示的事件是必然事件)。不可能事件,用Ø表示
事件的关系与运算
事件本来就是样本空间的子集,所以事件的关系就是集合的关系,事件的运算就是集合的运算。省略。
不相容:若A∩B = Ø,则称A和B不相容,或称互斥,即A、B不会同时发生
完备事件组:若A1∪A2∪...∪An = Ω,且Ai∩Aj = Ø,则称{A1、A2、...An} 为一个完备事件组
概率的公理化定义
1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫出版了《概率论基础》,首次将概率论建立在严格的公理基础上
概率的定义:
- 非负性:P(A) ≥ 0
- 规范性:P(Ω) = 1
- 可列可加性:任何可列的无穷个互不相容的事件A1、A2、...Ak....,有$$P({\cup}_{k=1}^∞A_k) = \sum_{k=1}^∞P(A_k)$$
古典概型和几何概型
概型即概率模型,古典概型是最简单也是最重要的概率模型。
古典概型:试验只有有限个可能的结果;每个基本事件发生的可能性相同。
其概率计算公式:$P(A) = \frac{A中元素的个数}{Ω中元素的个数} $
几何概型:试验所有可能的结果形成一个有界区域Ω;对Ω的每个子集A,试验结果落入A的概率与A的测度S(A)成正比,而与A的位置和形状无关。(其实就是等概率)
条件概率
条件概率:在事件B发生的条件下事件A发生的概率
其计算公式$P(A | B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$