紫书第11章图论模型与算法-习题解题总结

《算法竞赛入门经典》中第11章的题目

题目目前还没看完,先留坑,慢慢填

做题情况
题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
状态	+	+	+1	-10	0	0	+	+2
题目	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
状态	+			+	+	+

一、题目概览

很平常的一道Floyd..直接暴力算就好了
很平常的一道Dijkstra或SPFA
最大流的模板题...但是书上的数据给错了,1到2容量是20...
无向图的点连通度,用的是拆点法.这道题比较有意思，后面会有总结。
表达式树的大模拟。。
又是一个大模拟。。
Dijkstra，和例题11类似，要考虑当前状态，但并不难写
最重要的是星号只能出现一次，只能代替一个字符。因此我们可以把原来的模板拆开，产生至多2000个串，可以用星号代替的串之间连一条边，可以证明我们生成的是二分图（按照奇偶性易于证明没有奇环），然后题目就变成了二分图匹配，跑一个最大流就好了。这是我难得完全自主做出来+对拍的3000+Byte的题。。这道题花了我好长时间调试。。
未做
未做
未做
都提示到某个数据结构了，那当然是并查集了！把询问逆序处理，相当于不断向并查集加入元素，模拟记录，逆序输出答案即可
未做
未做
非常清新的构造题，思路类似于贪心，先把所有的边权值和相加，再不断合并。对于每个点，统计出与它相连的边权值总和为sum，最大权值的边权为mx，显然最好的情况就是合并后减少min(sum/2, sum-mx)，而可以玄学证明这是可以达到的。（实际要归纳什么的，并不好证）
与15题类似，这次是统计对于每个点，包含它的子树的大小。设某个点子树大小为k，则它与父亲相连的边最多被经过 $2\times min(k,n-k)$ 次，可以玄学证明这是可以达到的，然后统计答案就可以了。
也是一道神构造。设叶子节点数量是m,则至少连 $(m+1)/2$ （下取整）条边。构造方法是设 $half=m\div 2$ ，然后连接 $(1,1+half),(2,2+half),...$
未做
未做
未做
一道很有意思的题，本来看到行列，以及对行列的操作，以为说不定是二分图匹配（受矩阵解压例题影响），结果完全不是！居然是差分约束这个新概念！根据题目列出一系列一次的不等式组，然后建图，用SPFA找最短路/最长路，顺便判断负环，有负环则无解。有空一定要写一写代码。

下面就是对于遇到的新的知识点和方法的总结了

二、点连通度与边连通度

推荐文章点连通度与边连通度的求解。连通度的定义就很容易让人想到最小割，那么怎么把这两者结合呢？总结一下就是下面的方法：

边连通度看起来就是裸的最小割模型了，但是源点和汇点是需要注意的，它们是可以任选的。可以 $O(n^2)$ 暴力枚举源点汇点，但是实际只需固定源点枚举汇点就行了，具体见推荐的文章。
点连通度。其实只需要考虑有向图，无向图每条边可以拆成两个。核心的思想是把每个点拆成两个，分别接受从这个点出发的边和到达这个点的边。如下图，带一撇的保存入边，带两撇的保存出边，入边需要和出边连一条边。如果把某个点（如点 $O$ )去掉了，我们就把 $O{}'O{}''$ 的边去掉，这样从 $ABC$ 到达 $O$ 的边只能进入 $O$ 却出不去，从 $O$ 到 $EF$ 的边变成凭空冒出来的了，因此相当于与 $O$ 有关的边都没有用了，例如 $AE$ 就被隔离了。我们只要统计最少删掉几个这样的 $O{}'O{}''$ 边就行了，但是会不会误删题中给定的边呢？我们只要规定图中给定的边边权无限，而 $O{}'O{}''$ 这类的边边权为1就可以完美解决。
但是这样做源点汇点该怎样处理呢？和上面类似，但是一定要注意源点不能选类似 $O{}'$ 的，汇点一定不能选类似 $O{}''$ 的，因为这样做会导致最小割永远是 $1$ .

三、差分约束系统

待更新。。推荐文章差分约束系统

紫书第11章图论模型与算法-习题解题总结

一、题目概览

二、点连通度与边连通度

三、差分约束系统

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