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GCD - Extreme (II)
求 。
解法一:蓝书解法,计算贡献
设
,则所求答案为
的前缀和。
注意到
的值一定是n的约数,按照这个约数进行分类。设满足
的约束有g(n,i)个,则
。
依次计算
需要枚举每个
的约数
,速度较慢,但是对每个
枚举它的倍数
来更新
的值,此时速度和普通筛法同阶。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct EulerSieve
{
vector<int> p,m,phi;
EulerSieve(int N):m(N,0),phi(N,0)
{
phi[1]=1;
for(long long i=2,k; i<N; ++i)
{
if(!m[i])p.push_back(m[i]=i),phi[i]=i-1;
for(int j=0; j<p.size()&&(k=i*p[j])<N; ++j)
{
phi[k]=phi[i]*p[j];
if((m[k]=p[j])==m[i])break;
phi[k]-=phi[i];
}
}
}
};
struct GCDExtremeII:EulerSieve
{
vector<ll> f;
GCDExtremeII(int N):EulerSieve(N),f(N)
{
for(int i=1; i<N; ++i)
{
for(int k=2; k*i<N; ++k)
f[k*i]+=i*phi[k];
f[i]+=f[i-1];
}
}
} g(4e6+9);
int main()
{
for(int n; ~scanf("%d",&n)&&n;)printf("%lld\n",g.f[n]);
}
解法二:分块
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct EulerSieve
{
vector<int> p,m,phi;
vector<ll> sum;
EulerSieve(int N):m(N,0),phi(N,0),sum(N,0)
{
phi[1]=1;
for(long long i=2,k; i<N; ++i)
{
if(!m[i])p.push_back(m[i]=i),phi[i]=i-1;
for(int j=0; j<p.size()&&(k=i*p[j])<N; ++j)
{
phi[k]=phi[i]*p[j];
if((m[k]=p[j])==m[i])break;
phi[k]-=phi[i];
}
}
for(int i=0; i<N; ++i)sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
}
} e(4e6+9);
int main()
{
for(ll n,sum,tmp; ~scanf("%lld",&n)&&n;)
{
for(int i=1,j=sum=0; i<=n; i=j+1)
tmp=n/i,sum+=tmp*tmp*(e.sum[j=n/tmp]-e.sum[i-1]);
printf("%lld\n",(sum-(n+1)*n/2)/2);
}
}
解法三:莫比乌斯反演
数论分块可
查询,总时间复杂度
。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
struct EulerSieve
{
vector<int> p,m,mu,sum;//素数序列,最小素因子,欧拉函数,莫比乌斯函数
EulerSieve(int N):m(N,0),mu(N,0),sum(N,0)
{
mu[1]=1;//m[1]=0
for(long long i=2,k; i<N; ++i)//防i*p[j]爆int
{
if(!m[i])p.push_back(m[i]=i),mu[i]=-1;//i是素数
for(int j=0; j<p.size()&&(k=i*p[j])<N; ++j)
{
if((m[k]=p[j])==m[i])
{
mu[k]=0;
break;
}
mu[k]=-mu[i];
}
}
for(int i=1; i<N; ++i)sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
} e(4e6+9);
int main()
{
for(ll n,sum,tmp; ~scanf("%lld",&n)&&n;)
{
sum=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(ll l=1,r,tmp,m=n/i; l<=m; l=r+1)
tmp=m/l,sum+=i*tmp*tmp*(e.sum[r=m/tmp]-e.sum[l-1]);
printf("%lld\n",(sum-(n+1)*n/2)/2);
}
}