欧拉定理:
若正整数 a , n 互质,则 aφ(n)≡1(mod n) 其中 φ(n) 是欧拉函数(1~n) 与 n 互质的数。
证明如下:
不妨设X1,X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。
首先我们先来考虑一些数:aX1,aX2 ...... aXφn
这些数有如下两个性质:
(1)任意两个数模n余数一定不同:(反证)若存在aX1≡aX2(mod n),则 n |( aX1 - aX2 ),而a,n互质且(X1 - X2)< n,所以n不可能整除( aX1 - aX2 ),也就是说
不存在aX1≡aX2(mod n)。归纳法:对于任意的与n互质的Xi均成立。故得证。
那么因为有 φn 个这样的数,Xi mod n(i=1~φn)所以就有 φn 个不同的余数,并且都是模数自然是(0~n-1)。
(2)对于任意的aXi(mod n)都与n互质。这不难想,因为a与n互质这是欧拉函数的条件,Xi是(1~n)与n互质的数的集合中的元素。所以如果a*Xi做为分子,n做为分母,那么
他们构成的显然就是一个最简分数,也就是aXi和n互质。接下来就可以用欧几里得算法:因为:gcd(aXi,n)==1所以:gcd(aXi,n)== gcd(n,aXi%n)== 1
这样,我们把上面两个性质结合一下来说,aX1(mod n),aX2(mod n) ...... aXφn(mod n)构成了一个集合(性质1证明了所有元素的互异性),并且这些数是1~n与n互
质的所有数构成的集合(性质1已说明)。这样,我们巧妙的发现了,集合{ aX1(mod n),aX2(mod n) ...... aXφn(mod n)}经过一定的排序后和集合{ X1,X2 ...... Xφn }
完全一一对应。那么:aX1(mod n)* aX2(mod n)* ...... * aXφn(mod n)= X1 * X2 * ...... * Xφn 因此:我们可以写出以下式子:
aX1 * aX2 * ...... * aXφn≡ X1 * X2 * ...... * Xφn (mod n),即:(aφn -1)X1 * X2 * ...... * Xφn ≡ 0 (mod n)
又因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质,所以, (aφn -1)| n,那么aφn≡1(mod n)。欧拉定理得证。
费马小定理:
对于质数p,任意整数a,均满足:ap≡a(mod p)
这个可以用欧拉定理来说明:首先,我们把这个式子做一个简单变换得:ap-1 * a ≡ a(mod p) 因为a ≡ a(mod p)恒成立,所以ap-1 mod p == 1时费马小定理才成立,又因为p
是质数,所以φn==n-1,所以根据欧拉定理:若a,n互质则ap-1 mod p == 1成立