版权声明:Edited by I Hsien https://blog.csdn.net/POTASSIUM711/article/details/88243129
前置工作
在分析这两个定理之前,先引入几个重要的定义和定理:
definition:所有对自然数m同余的自然数组成的集合称m的 完全剩余类.所有对自然数m同余的且余数和m互质的自然数组成的集合称m的 简化剩余类.在每个完全剩余类中任取一个,组成的集合称m的 完全剩余系.在每个简化剩余类中任取一个,组成的集合称m的 简化剩余系.
φ(m)指简化剩余系的元素数.换句话说,就是(0,m)中和m互质的整数的数量.
将m的某剩余类a划分为mn的剩余类的和:
该类可表示为
a+mk,k∈z.又全体整数可对n分为0,1,…n-1,则对k分解,有
{a+mk}={a+tmn}∪{a+(t+1)mn}∪...∪{a+(t+n−1)mn}
这就是对m的某个剩余类对
mn˙的进一步分划.重点在于对a所在剩余类的描述是
a+km而不是常规的
km+b(好像也没差)
注意是对k分解.
关于同余的一些重要性质:
theorem:if a≡b(modm)a+c≡b+c(modm)
同余的两数可以同乘
if a≡b(modm)ka≡kb(modm)
可以同除一个对m互质的数
if ak≡bk(modm)且(k,m)=1则 a≡b(modm)
同余的两数可以同乘.如果是正整数,可以带上m一起乘.
而且反之亦然.
if a≡b(modm)ka≡kb(modkm)
整系数的多项式组合也满足该关系.
if a≡b(modm)f(a)≡f(b)(modm)
最后一条也是一个推论.
//To do:过段时间再整理这一部分.
接下来是剩余系的遍历定理:
- if a,m互质,则当x遍历m的一个完全剩余系的同时ax+b遍历m的一个完全剩余系
- if a,m互质,则当x遍历m的一个简化剩余系的同时ax遍历m的一个简化剩余系
- if (m,n)=1,当x遍历n的完全剩余系,y遍历m的完全剩余系,mx+ny遍历mn的完全剩余系.
- 简化剩余系亦同.
下面做一点分析.
- 对于一个完全剩余系
{r1,r1...rm},里面的元素互不相等也不同余…
- 因为a,m互质,
ari+b ≢arj+b(modm)[这个地方要好好想一想].x遍历
{r1,r1...rm}时,ax+b分属m个不同的剩余类,形成一个完全剩余系.
- 进一步的,
gcd(a,m)=1→gcd(ari,m)=1所以x遍历简化剩余系的时候ax也分属每个简化剩余类,形成简化剩余系.
欧拉定理
Theorem:ifgcd(a,m)=1→aφ(m)≡1(modm)
下面是解释.
r1,r2,...,rφ(m)是m的简化剩余系,则ari组成一个新的简化剩余系ar1⋅ar2⋅...⋅arφ(m)=aφ(m)⋅r1⋅r2⋅...rφ(m)r1⋅r2⋅....⋅rφ(m)≡aφ(m)⋅r1⋅r2⋅...rφ(m)(modm)又∀ri,没有任何一个和m相同的质数分解方案(1不算)(否则就不叫互质了),所以r1⋅r2⋅....⋅rφ(m)与m互质.应用之前提到的同余的性质,两边同除r1⋅r2⋅....⋅rφ(m),得欧拉定理aφ(m)≡1(modm).
欧拉定理的关键就是简化剩余系的ax遍历性质,以及同余式两边的消去.这里再次强调:
- 如果同除的系数互质于m,则可以只用除两个同余数;
- 如果不确定是否互质,则应该三个参数一起除.
如果是扩增:
- 可以三个同乘;
- 也可以不加限制的两个同乘(至少得是整数),而同除就不行
- 也可以整数项多项式同时套用在两个同余数上而m不动.
费马小定理
Theorem:if p为素数,∀a∈z, ap≡a(modp)
下面做一点解释.
-
if gcd(a,p)=1,由欧拉定理,ap−1≡1(modp)因为素数p的简化剩余系数量为p−1
-
if gcd(a,p)≠1,p∣a.a≡0(modp)则ap≡a≡0(modp)因为都是p的整数倍
这就很清楚了.
下一篇尝试写写这两个定理的应用解题,以及在一些地方的应用.下下篇或许是一个tool:模重复平方法,用于在大数环境下求
ae(modm)的.