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若
(a,m)=1
,则满足
aφ(m)≡1 (mod m)
证明
设与m互质的数为b1,b2,b3,...,bφ(m)∵(a,m)=1∴ab1,ab2,ab3,...,abφ(m)都与m互质,且每个数均不相同∴{b1,b2,b3,...,bφ(m)}中,每一个数一定与{ab1,ab2,ab3,...,abφ(m)}中的一个数同余,且一一对应。∴aφ(m)∏φ(m)i=1bi≡∏φ(m)i=1abi≡∏φ(m)i=1bi≡1 (mod m)∴m∣aφ(m)∏φ(m)i=1bi−∏φ(m)i=1bi即m∣(aφ(m)−1)∏φ(m)i=1bi又∵(m,∏φ(m)i=1bi)=1∴m∣aφ(m)−1即aφ(m)≡1 (mod m)
费马小定理
当
p
为质数,则
ap−1≡1 (mod p)
因为
p
为质数时,
φ(p)=p−1
扩展欧拉定理
扩展到不要求互质
当
(a,m)=1
时,
ac≡ac mod φ(m) (mod m)
证明略
当
(a,m)≠1且c<φ(m)
时,
ac≡ac (mod m)
无需证明
当
(a,m)≠1且c≥φ(m)
时,
ac≡ac mod φ(m)+φ(m) (mod m)
证明
取a的质因子p,令m=s×pr,且(s,p)=1pφ(s)≡1 (mod s)∵s不含因子p∴φ(s)∣φ(m)∴pφ(m)≡1 (mod s)⟹pφ(m)+r≡pr (mod s×pr)⟹pkφ(m)+r≡pr (mod m) (k为任意正整数)a中含有p因子pk(pk)c≡pkc≡pkφ(m)+kc≡(pk)φ(m)+c≡(pk)tφ(m)+c (mod m) (t为任意正整数)⟹(pk)c≡(pk)c mod φ(m)+φ(m) (加φ(m)为了保证c≥φ(m))a的每个质因子都满足上式同余式可相乘,乘起来即为ac≡ac mod φ(m)+φ(m) (mod m)
用途
再也不用担心指数爆炸了!!指数也可以取模了
题目
BZOJ3884(推公式)
BZOJ4869(+线段树)