本文转载自:https://www.cnblogs.com/tsingke/p/6273970.html
协方差矩阵实在是太重要了,无论是在计量,金融工程还是随机分析中,我们都会到用到协方差矩阵。
作为半正定矩阵,我们可以对协方差矩阵进行Cholesky分解:半正定矩阵,可以分解为,其中是上三角阵,是对角线元素都非负的对角矩阵。所以
这样一来,矩阵 ,其中。
上面的铺垫工作完成,下面具体分析其应用,
1.在金融随机分析和金融工程中的应用
在金融随机分析中我们可以采用Monte Carlo方法对期权进行定价,如果对于普通的欧式期权,那么我们只要产生N个正态分布的随机数即可。但是,对于那些依赖于多个相关随机过程(Correlated Brownian Motion)的资产的定价,我们就要产生满足特定相关关系的随机变量,而这正是依靠协方差矩阵和上面所述的Cholesky分解完成的。比如,Quanto(Quantity Adjusting Option)双币种期权就是满足上述特征的期权。这里我复制我的BLOG中的一段,
Quanto Nikkei Option. Consider a Nikkei quanto into dollar call option. Assuming both the USD/JPY and Nikkei are both lognormal process, i.e.
协方差代表的意义是什么?
在概率论中,两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系,大致有下列3种情况:
情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有: X 越大 Y 也越大, X 越小 Y 也越小,这种情况,我们称为“正相关”。
情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出,大致上有:X 越大Y 反而越小,X 越小 Y 反而越大,这种情况,我们称为“负相关”。
情况三,如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时,我们可以看出:既不是X 越大Y 也越大,也不是 X 越大 Y 反而越小,这种情况我们称为“不相关”。
怎样将这3种相关情况,用一个简单的数字表达出来呢?
在图中的区域(1)中,有 X>EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(2)中,有 X<EX ,Y-EY>0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0;
在图中的区域(3)中,有 X<EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)>0;
在图中的区域(4)中,有 X>EX ,Y-EY<0 ,所以(X-EX)(Y-EY)<0。
当X 与Y 正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E(X-EX)(Y-EY)>0 。
当 X与 Y负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)<0 。
当 X与 Y不相关时,它们在区域(1)和(3)中的分布,与在区域(2)和(4)中的分布几乎一样多,所以平均来说,有(X-EX)(Y-EY)=0 。
所以,我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征,也就是协方差
cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)
当 cov(X, Y)>0时,表明 X与Y 正相关;
当 cov(X, Y)<0时,表明X与Y负相关;
当 cov(X, Y)=0时,表明X与Y不相关。
这就是协方差的意义。
关于协方差矩阵的解读
协方差矩阵实在是太重要了,无论是在计量,金融工程还是随机分析中,我们都会到用到协方差矩阵。
其实,这三者都利用了协方差矩阵本身的含义,即随机变量之间的线性相关关系(当然,相关系数矩阵在此处更为贴切),也利用了协方差矩阵为半正定矩阵的性质。下面具体道来,
首先,我们先要分析一下协方差矩阵的性质。作为实对称矩阵,其主要性质之一就是可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得
首先,我们先要分析一下协方差矩阵的性质。作为实对称矩阵,其主要性质之一就是可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得
作为半正定矩阵,我们可以对协方差矩阵进行Cholesky分解:半正定矩阵,可以分解为,其中是上三角阵,是对角线元素都非负的对角矩阵。所以
这样一来,矩阵 ,其中。
上面的铺垫工作完成,下面具体分析其应用,
1.在金融随机分析和金融工程中的应用
在金融随机分析中我们可以采用Monte Carlo方法对期权进行定价,如果对于普通的欧式期权,那么我们只要产生N个正态分布的随机数即可。但是,对于那些依赖于多个相关随机过程(Correlated Brownian Motion)的资产的定价,我们就要产生满足特定相关关系的随机变量,而这正是依靠协方差矩阵和上面所述的Cholesky分解完成的。比如,Quanto(Quantity Adjusting Option)双币种期权就是满足上述特征的期权。这里我复制我的BLOG中的一段,
Quanto Nikkei Option. Consider a Nikkei quanto into dollar call option. Assuming both the USD/JPY and Nikkei are both lognormal process, i.e.