参考《概率论与数理统计》(浙大)
关键词:
数学期望,数学期望的性质,方差,标准差,方差的性质,协方差,相关系数,协方差矩阵
数学期望
变量分布的中心
数学期望也叫期望,或者均值,E(X)完全由X的概率分布决定,若X服从某一分布,也成E(X)是该分布的数学期望。
理解:X的数学期望是E(X)>>指的是多次采样,指标X的平均值是E(X)。
例如:
新生儿健康得分X的数学期望E(X)是7.15——每一次观察新生儿,平均的健康分数是7.15
电子产品的寿命N的数学期望是θ/2——取电子产品观察多次,平均的寿命是θ/2
候车时间的数学期望是27.22min——平均的候车时间是27.22min
家电收费Y的数学期望是2732.15——平均一台家电收费2732.15
…
数学期望的几个重要性质(设以下随机变量的数学期望存在):
- 设C是常数,则有
- 设X是一个随机变量,C是常数,则有
- 设X,Y是两个随机变量,则有 可推广到任意有限个变量之和
- 设X,Y是两个独立的随机变量,则有 可推广到任意有限个独立变量之积
方差
变量分布的离散程度
知道了数学期望,也就知道了一批样本中某一指标的均值,方差在此基础上反映的是真实的样本据此均值的偏离程度,方差小,偏离程度就小,这一指标的出现的值就越稳定。
偏离程度的表示没有正负之分,所以用绝对值表示,为了方便起见,通常用平方来代替绝对值,用 表示偏离程度,记作D(X)或Var(X)
在应用上取其根号
记作
称为标准差或者方差
方差的几个重要性质(设以下随机变量的数学期望存在):
- 设C是常数,则
- 设X是随机变量,C是常数,则有
- 设X,Y是两个随机变量,则有:
特别地,当X和Y相互独立,则有
这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之和 - D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数E(X),即
协方差
变量之间的相关程度
数学期望和方差都是针对样本中的某一个指标而言的,而对于二维随机变量(X,Y),协方差描述了随机变量X和Y的相互关系。
量:
称为样本X和Y的协方差,记作
称为随机变量X和Y的相关系数
相关系数也称作线性相关系数,描述随机变量(X,Y)两个分量X,Y之间线性关系之间的紧密程度,相关系数小,线性相关程度差,ρXY=0,说明不相关或存在线性相关之外的关系。X,Y相互独立则X,Y一定不相关,若X,Y不相关则X,Y不一定相互独立。
协方差矩阵
包含了方差和协方差的信息
协方差矩阵是一个对称矩阵。
有n维随机变量
其协方差矩阵的主对角线元素为各个元素的方差
其余的第i行第j列元素对应第i个元素和第j个元素的协方差。