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我们知道斐波那契数列为
⎧⎩⎨⎪⎪F1=1F2=1Fn=Fn−1+Fn−2n>2
那么如何求解他的前N项和呢
我们可以通过他的通项入手,斐波那契数列的通项为
Fn=15–√((1+5–√2)n−(1−5–√2)n)
数列的递推公式求通项可以参考
数列的递推公式求通项
有了通项后我们易知
Sn=∑i=1nFi=15–√(((1+5–√2)1+(1+5–√2)2+⋯+(1+5–√2)n)−((1−5–√2)1+(1−5–√2)2+⋯(1−5–√2)n))
由于这里就是两个等比数列所以可以用上等比数列求和公式
Sn=∑i=1nFi=15–√⎛⎝⎜⎛⎝⎜1+5√2(1−(1+5√2)n)1−1+5√2⎞⎠⎟−⎛⎝⎜1−5√2(1−(1−5√2)n)1−1−5√2⎞⎠⎟⎞⎠⎟
=15–√⎛⎝⎜⎜⎛⎝⎜⎜(1+5√2)2(1−(1+5√2)n)1−5√21+5√2⎞⎠⎟⎟−⎛⎝⎜⎜(1−5√2)2(1−(1−5√2)n)1+5√21−5√2⎞⎠⎟⎟⎞⎠⎟⎟
=15–√((1+5–√2)n+2−(1−5–√2)n+2)−15–√((1+5–√2)2−(1−5–√2)2)
=Fn+2−F2=Fn+2−1
所以也就是说
Sn=Fn+2−1
实际上大多数的数列递推公式的通项是由含有等比因子的,都可以尝试这样的方法来求解和