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Problem
设奇数
n>1
,证明:
n
是素数的充分必要条件是
n
不能表为三个或三个以上的连续正整数之和。
解:
必要性:
设自然数前缀和
S(a)=a(a+1)2,S(b)=b(b+1)2
.
则
n≠S(a)−S(b)=(a+b+1)(a−b)2,a−b>1,b⩾0
。
于是设
k=a−b,n≠k(2b+1+k)2
若奇数
n
是合数,则
n=uv,u⩾v⩾3,v
是奇数.
令
k=v⩾3
则能否有
b
使得
2b+1+k=2u
?答案是有的
令
b=u−v+12>u−v⩾0
,并且它右式总是整数。
充分性:
显然
S(a)−S(b)
是合数,所以充分性得证。
Problem
设
n⩾3
.证明存在
n!−1
的素因子
>n
。
证明:
设素数
p⩽n,p|n!−1
,又
p|n!
,于是
n!−1=rp,n!=sp,(s−r)p=1
,所以
p|1
,但这是不可能的。
Problem
设整系数多项式
P(x)=∑k=0nakxk,degP>1
,求有无数多个整数值
x
使得
P
是合数。
解:
P0(x)=ax+1
时,显然成立.
使得pi∈{k|ak≠0}
.
令x=ap0x′,P1(x)=(ap1x′+1)ap0,则P0(x)|P1(x)
;
令x=ap0x′,P2(x)=ap0P1(x)
,则
P0(x)|P1(x)|P2(x)
.
于是对于
degP=k∈N+
,命题成立。
Problem
假若素数只有有限个
p1,p2,...ps
,证明:
∀N>0,∑n=1N1n<∏k=1s(1−1pk)−1
,由此推出素数有无数多个。
证明:
首先任意正整数必然能够由
p1,p2,...ps
表出,于是
∑n=1N1n<∏k=1s∑n=0∞1pnk=limn→∞∏k=1s1−p−nk1−p−1k=∏k=1s(1−1pk)−1
但是
∑n=1∞1n
不收敛,与其部分和有上界矛盾,所以素数一定有无限多个。