从1开始的数论
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基础知识&&使用的概念
整除
对于正整数\(n,m\),如果存在整数\(q\)使得\(n=qm\)，则称\(m\)整除\(n\),记作\(m|n\)。
称\(m\)是\(n\)的约数，\(n\)是\(m\)的倍数
最大公约数
对于正整数\(a,b\),若正整数\(d\)满足\(d|a\)且\(d|b\),则称\(d\)是\(a\)和\(b\)的公约数。
\(a\)和\(b\)最大的公约数称为\(a,b\)的最大公约数，记作\(gcd(a,b)\)或者\((a,b)\)。
\(d\)是\(a,b\)的公约数等价于\(d|gcd(a,b)\)。
互质
若正整数\(a,b\)满足\(gcd(a,b)=1\),则称\(a\)与\(b\)互质。
有时也记为\(a⊥b\)。(讲师在\(NOI2016\)讲题遇到的)
取整函数
高斯函数
对于实数\(x\)，记\(\lfloor x\rfloor\)为不超过\(x\)的最大整数。
\(\lfloor x\rfloor\)也是满足如下关系的唯一整数：
\[\large\lfloor x\rfloor<=x<=\lfloor x\rfloor+1\]
基础应用：
对于正整数\(n\),\(1\)到\(n\)中\(d\)的倍数有\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)个。
我们时常要考虑形如\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)的数。
为行文方便，后文可能会称这些数为特殊点。
性质：
对于任意的\(x\)与正整数\(a,b\),我们均有：
\[\large {\lfloor\lfloor\frac{x}{a}\rfloor / b \rfloor=\lfloor \frac{x}{ab}\rfloor}\]
对于正整数\(n\)，考虑当\(1≤d≤n\)时，\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)的不同取值个数。
若\(d\leq \sqrt{n}\)，则能得到的\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)只有不超过\(\sqrt{n}\)种。
若\(d>\sqrt{n}\)，则\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\leq\frac{n}{d}<\sqrt{n}\)，又因为\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)是正整数，故此时可能的取值也不超过\(\sqrt{n}\)种。
综上，\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\)可能的取值不超过\(2\sqrt{n}\)种。
例题：
求\(\large\sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)，\(n\leq10^{14}\)。
直接做肯定不行，因为\(n\leq10^{14}\)
我们转变方法，枚举\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)的取值。对于\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)的每个取值，对应的\(d\)的范围是一个区间，所以我们找到每个区间的端点，枚举\(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\)的取值即可
如何求每个区间的端点呢？
假设\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor=x\)，\(x\epsilon N^{*}\)
取值为\(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor=x\)的区间右端点就是\(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int main() {
ll n = 0, ans = 0;
scanf("%lld", &n);
for(ll i = 1; i <= n; i++) {
ll x = n / i, j = n / x;//i是左端点，j是右端点，x是取值
ans += (j - i + 1) * x;
i = j;//跳过这一段
}
cout << ans << '\n';
return 0;
} 调和数
调和数定义为\(\large H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)，是发散的。
关于调和数有以下结论：
\[H_n = \ln n + \gamma + o(1)\]
\(o(1)\)会随着\(n\)的增大不断趋近于\(0\)
这可以推出一个常见的时间复杂度：
\[\large \sum_{d=1}^{n}\lfloor\frac{n}{d}\rfloor=\Theta(n\log n)\]
### 算数基本定理
唯一分解定理
任意一个正整数\(n\)都可以表示成素数的乘积的形式：
\[\large n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_s^{\alpha_s}\]
式子里的\(p_1,…,p_s\)是不同的素数。在不计次序的情况下，这一表达是唯一的。
与互质的关系：两个数是互质的当且仅当它们没有共同的素因子
可以用试除法来求
求素数
求不超过\(n\)的所有的素数可以用埃氏筛、欧拉筛等，关于素数具体见这里 click here
这里看一下\(O(n)\)的欧拉筛（\(\text{Euler}\)筛法）
它的思想是枚举所有数的最小质因子，从而使每个数只被访问一次，所以是\(O(n)\)的
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int A = 1e5 + 11;
const int B = 2e7 + 11;
int n, m, vis[B], prime[B], cnt;
//vis表示是否为质数，prime数组存质数
//线性筛
void prepare() {
vis[0] = 1, vis[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;
for(int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
vis[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}
}
int main() {
prepare();
return 0;
}
素数计数函数
\(\small \sim\)指渐进
令素数计数函数\(\pi(n)\)表示不超过\(n\)的素数个数，有如下的素数定理：
\[\large \pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}\]
推论：
- \(n\)附近的素数密度近似是\(1/\ln n\)。
- 第\(n\)个素数\(p_n\sim n \ln n\)。
杂
有正整数的一部分，取一个正整数的无穷子集，然后考虑他们的倒数之和，加起来可能是有限的，比如说\(2\)的幂的倒数，加起来是一个有限的数，即\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2^{n}}\)，他们的和是\(1\)。
把数看做字符串，考虑一个数字\(s\)，\(s\)是一个数字串，考虑所有不包含\(s\)的正整数，比如说不包含\(1\)的正整数，看起来是非常多的，但其实是个有限的数。
素数的倒数和是发散的。（这是一个事实，但在\(\text{OI}\)里没有应用）
素数计数
显然可以利用\(\text{Euler}\)筛算出\(n\)以内的所有素数，进而得到\(\pi(n)\)。
用一个类似极性函数求和的筛法可以达到\(O(\frac{n^{3/4}}{\log n})\)的复杂度。
先进的做法似乎可以达到\(O(\frac{n^{2/3}}{\log n})\)。
然而我一直在抄课件……这个东西老师也咕咕咕了，自己去搜吧，反正我不会
数论函数
概念：定义域为正整数，值域是复数的子集的函数称为数论函数。
\(\text{OI}\)中研究的数论函数的值一般也是整数。
积性函数
设\(f\)是数论函数，若对任意互质的正整数\(a,b\)，都有\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称\(f\)是积性函数。（积是乘积的意思）
若对任意的正整数\(a,b\)，都有\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称\(f\)是完全积性函数
若\(f\)是积性函数，且\(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}…p_s^{\alpha_s}\)是\(n\)的标准分解，则有
\[f(n)=f(p_1^{\alpha_1})f(p_2^{\alpha_2})…f(p_s^{\alpha_s})\]
因此研究积性函数\(f\)可以转化为研究\(f(p^{\alpha})\)，即\(f\)在素数和素数的幂上的取值。
积性函数求值
设\(f\)是积性函数，为求\(f(n)\)，可以对\(n\)分解素因子，然后计算所有的\(f(p^{\alpha})\)乘起来。
（咕咕咕……明天继续）