首先我们来求一个简单的n的范围是1 <= n <= 1e5,答案去模一个数
一个很简单的思想就是对1到n内直接做一次lcm,但答案会超过long long,取模条件下是不对的
所以我们考虑分解一下,对于x、y两个数求lcm 等于 x / gcd(x,y) * y,当我们将x、y进行素数分解后,我们可以知道gcd(x, y)实际就是 x的素数 并 y的素数,我们可以假设某个素数在x中有a个 y中有b个, 那么在gcd(a, b)中有 min(a, b)个,从而我们可以知道 这个素数在 x / gcd(x,y) * y 中有 max(a, b)个,所以我们可以通过这种方法来求
ct[i]是统计素数i有多少个,num[i]记录素数分解后的素数是谁,p[i]记录num[i]这个素数出现的次数
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <sstream>
#include <string>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <utility>
#include <bitset>
#include <unistd.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define pill pair<int, int>
#define mst(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define lson (rt << 1)
#define rson ((rt << 1) | 1)
const int qq = 1e5 + 300;
const int INF = 1e9 + 10;
const int MOD = 987654321;
int ct[qq], num[qq], p[qq];
LL quickPow (LL a, LL b) {
LL ans = 1;
while (b > 0) {
if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= 1;
}
return ans;
}
int main() {
int n; scanf("%d", &n);
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
int x = i;
int cnt = 0;
for (int j = 2; j * j <= x; j++) {
if (x % j == 0) {
num[cnt] = j;
p[cnt] = 0;
while (x % j == 0) {
p[cnt]++;
x /= j;
}
cnt++;
}
}
if (x > 1) {
num[cnt] = x;
p[cnt++] = 1;
}
for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
ct[num[j]] = max(ct[num[j]], p[j]);
}
}
LL ans = 1;
for (int i = 2; i <= 100000; ++i) {
if (ct[i] > 0) {
ans = ans * quickPow(i, ct[i]) % MOD;
}
}
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}
但是如果n达到1e8,并且要求询问q次(1 <= q <= 1e3)的话,上面那种方法就不适用了
参考:传送门
位图:传送门
关于位图解释一下
const int SHIFT = 5;
const int RADIX = (1 << SHIFT) - 1;
inline void SetBit (int x) {
flag[x >> SHIFT] |= (1 << (x & RADIX));
}
关于这段代码,我们知道x >> SHIFT, 其实就是x / 32,这个没问题
RADIX = (1 << SHIFT) - 1,这段代码其实是 1 + 2 + 4 + 8 + 16的结果也就是31
x & 31,也就是 x % 32的结果
还有关于这段代码的骚操作
int m = (int)pow(n + 0.9, 1.0 / cnt);
之前觉得挺奇怪的,想通了真的觉得真是骚操作
可以想像 n^1 , n^(1/2), n^(1/3) ......, 代表 n以内的数的1次方小于等于n的最大数,n以内的数的2次方小于等于n的最大数,n以内的数的3次方小于等于n的最大数......
挺绕的,再结合一下sum[]数组基本就能看明白这整个过程,挺厉害的操作阿 仰慕QAQ