题意

给定一棵有 $n$ 个节点的树，每条边有权值 $C(i,j)$。任意两个点的容量 $S(i,j)$ 定义为 $i$ 到 $j$ 唯一通路上容量的最小值，找一个点，使得它到其他所有点的容量之和最大。

题解

先假设所有点孤立，再逐渐加入每条边。
把边权从大到小排序，加入边时，所有点经过当前边到答案节点的容量一定为这条边的边权。
考虑带权并查集，根节点维护集合大小$num[x]$和以根节点为答案节点的最大容量之和$val[x]$。
考虑边 $(u,v)\in e$，$f(x)$ 表示 $x$ 所在集合的祖先，由于在同一个集合拥有最优子结构的特点，而 $C(u,v)$ 是当前边权中最小的，故 $y$ 集合的任意一个节点到 $x$ 集合的任一节点的容量都不会大于 $C(u,v)$，合并两个集合后，答案节点必然为 $f(x)$ 或 $f(y)$。
那到底选 $f(x)$ 还是 $f(y)$ 呢？
当选 $f(x)$ 作为根节点时，$x$ 集合的容量之和不变 $y$ 集合的容量之和为 $C(u,v)$，故总容量之和为

当选 $f(y)$ 作为根节点时，$y$ 集合的容量之和不变 $x$ 集合的容量之和为 $C(u,v)$，故总容量之和为

因此只需要判断一下那个作为根节点更优即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 200010
struct edge{
    int u,v,w;
    bool operator<(const edge &e)const{
        return w>e.w;
    }
}e[maxn];
int n,fa[maxn],num[maxn];
long long val[maxn];
int find(int x){
    if(fa[x]==x)
        return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
void Union(int u,int v,int w){
    int fx=find(u),fy=find(v);
    if((long long)num[fx]*w+val[fy]>(long long)num[fy]*w+val[fx])
        swap(fx,fy);//简化代码
    fa[fy]=fx;
    val[fx]+=(long long)num[fy]*w;//维护答案
    num[fx]+=num[fy];//维护大小
}
int main(void)
{
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            fa[i]=i,num[i]=1,val[i]=0;
        for(int i=1;i<n;i++)
            scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].w);
        sort(e+1,e+n);
        for(int i=1;i<n;i++)
            Union(e[i].u,e[i].v,e[i].w);
        printf("%lld\n",val[find(1)]);
        //原图为一棵树，所有节点必然连载一起，根节点为1
    }
    return 0;
}