题意:
n个城市形成一棵树,每条边有权值C(i,j)。任意两个点的容量S(i,j)定义为i与j唯一通路上容量的最小值。找一个点,使得它到其他所有点的容量之和最大。
思路:
图是一个树形 结构,意味着切断一条边(中间的)可以使图分成两个树。而中心点必然在某一个树中,所以可以用合并法。
初始假设所有点都是中心点,他们都其他点的的距离W[i]= 0,每个中心点所覆盖的点集中个数为1(他自己)。如果点a和点b合并了,且a合并到了b,即b为中心点,a不再是中心点而是b覆盖点集中的一员,a覆盖的点集也属于b。这样一直合并,最后决出一个中心点。
怎么合并呢? 先把边按照权值从大到小排序,遍历每条边,每次找出边的两个端点,比较各自所属的中心点哪个更优。比如某条边的两端是点a1和点b1,对应中心点分别是a和b,计算a1 = w[a] + cnt[b] * e.weight,b1 = w[b] + cnt[a] * e.weight。哪个大,哪个就更优。
为什么这样可以?边权从大到小排序,所以假设现在该处理边e3了,那e1,e2肯定都处理过了,且他们的权值都>=e3,这样在下一次的合并中就不会再有比e3还大的了,也就是e3一定是来自两个点集的边中权值最小的,而且分别来自a和b的任意两点之间的唯一通路一定经过e3,所以通路的容量一定是e3的权值。
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int maxn = 200000+5;
struct Edge{
int u,v,w;
bool operator < (const Edge& rhs) const{
return w > rhs.w;
}
};
Edge edges[maxn];
LL cnt[maxn], W[maxn], fa[maxn];
int find_fa(int u){ return u == fa[u] ? u : fa[u] = find_fa(fa[u]); }
void merge(int a, int b, LL w){
fa[a] = b; cnt[b] += cnt[a]; W[b] = w;
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
int n;
while(scanf("%d",&n) == 1&&n){
for(int i = 1; i <= n; ++i){ fa[i] = i; W[i] = 0; cnt[i] = 1; }
for(int i = 1; i < n; ++i){
scanf("%d%d%d",&edges[i].u, &edges[i].v, &edges[i].w);
}
sort(edges+1, edges+n);
LL ans = 0;
for(int i = 1; i < n; ++i){
Edge& e = edges[i];
int a = find_fa(e.u), b = find_fa(e.v);
LL wa = W[a] + cnt[b]*e.w, wb = W[b] + cnt[a]*e.w;
if(wa < wb) merge(a, b, wb); else merge(b, a, wa);
ans = max(wa, wb);
}
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}