0_2_2-卷积层的反向传播-多通道、无padding、步长1

a) $l$ 代表网络的第 $l$ 层, $z^l$ 代表第 $l$ 层卷积， $z_{d,i,j}^l$ 代表第 $l$ 层卷积第 $d$ 通道 $(i,j)$ 位置的值; $z^l$ 的通道数为 $C^l$ , 高度和宽度分别为 $H^l,\hat W^l$ ( $\color{red}{避免与权重相同}$ )

b) $W^{l-1},b^{l-1}$ 代表连接第 $l-1$ 层和第 $l$ 层的卷积核权重和偏置; 卷积核的维度为 $(k_1^{l-1},k_2^{l-1})$ 。

c) 记损失函数L关于第 $l$ 层卷积的输出 $z^l$ 的偏导为 $\delta^l = \frac {\partial L} {\partial z^l} \ \ \ (3)$

前向传播

根据以上约定，卷积核权重 $W^{l-1} \in \Bbb R^{k_1^{l-1} \times k_2^{l-1} \times C^{l-1} \times C^{l}}$ ,偏置 $b^{l-1} \in \Bbb R^{C^l}$ ,每个输出通道一个偏置。

则有第 $l$ 层卷积层,第 $d$ 个通道输出为:

\begin{aligned} (4) & z_{d, i, j}^{l} = \sum_{c = 1}^{C^{l - 1}} \sum_{m = 0}^{k_{1}^{l - 1} - 1} \sum_{n = 0}^{k_{2}^{l - 1} - 1} W_{m, n, c, d}^{l - 1} z_{c, i + m, j + n}^{l - 1} + b^{l - 1} & i \in [0, H^{l} - 1], j \in [0, {\hat{W}}^{l} - 1] \end{aligned}

$\begin{align} &z^l_{d,i,j} = \sum_{c=1}^{C^{l-1}}\sum_{m=0}^{k_1^{l-1}-1} \sum_{n=0}^{k_2^{l-1}-1} W_{m,n,c,d}^{l-1} z_{c,i+m,j+n}^{l-1} + b^{l-1} & i \in [0,H^l-1], j\in [0,\hat W^l-1]\tag 4 \end{align}$
其中：

H^{l} = H^{l - 1} - k_{1}^{l - 1} + 1; {\hat{W}}^{l} = {\hat{W}}^{l - 1} - k_{2}^{l - 1} + 1

$H^l = H^{l-1} - k_1^{l-1} + 1;\ \ \ \ \ \hat W^l = \hat W^{l-1} - k_2^{l-1} + 1$ ; 注意前后通道直接相当于全连接，即前后两个卷积层直接所有通道都互相连接。

反向传播

权重梯度

a) 首先来看损失函数 $L$ 关于第 $l-1$ 层权重 $W^{l-1}$ 和偏置 $b^{l-1}$ 的梯度：

\begin{aligned} (1) & \frac{\partial L}{\partial W_{m, n, c, d}^{l - 1}} = \sum_{i} \sum_{j} \frac{\partial L}{\partial z_{d, i, j}^{l}} * \frac{\partial z_{d, i, j}^{l}}{\partial W_{m, n, c, d}^{l - 1}} & / / l 层 的 d 通 道 每 个 神 经 元 都 有 梯 度 传 给 权 重 W_{m, n, c, d}^{l - 1} \\ (2) & = \sum_{i} \sum_{j} δ_{d, i, j}^{l} * \frac{\partial (\sum_{c = 1}^{C^{l - 1}} \sum_{m = 0}^{k_{1}^{l - 1} - 1} \sum_{n = 0}^{k_{2}^{l - 1} - 1} W_{m, n, c, d}^{l - 1} z_{c, i + m, j + n}^{l - 1} + b^{l - 1})}{\partial W_{m, n, c, d}^{l - 1}} \\ (5) & = \sum_{i} \sum_{j} δ_{d, i, j}^{l} * z_{c, i + m, j + n}^{l - 1} \end{aligned}

$\begin{align} &\frac {\partial L} {\partial W_{m,n,c,d}^{l-1}} = \sum_i \sum_j \frac {\partial L} {\partial z^l_{d,i,j}} * \frac {\partial z^l_{d,i,j}} {\partial W_{m,n,c,d}^{l-1}} &//l层的d通道每个神经元都有梯度传给权重W^{l-1}_{m,n,c,d}\\ &=\sum_i \sum_j \delta^l_{d,i,j} * \frac {\partial ( \sum_{c=1}^{C^{l-1}}\sum_{m=0}^{k_1^{l-1}-1} \sum_{n=0}^{k_2^{l-1}-1} W_{m,n,c,d}^{l-1} z_{c,i+m,j+n}^{l-1} + b^{l-1} )} {\partial W^{l-1}_{m,n,c,d}} \\ &=\sum_i \sum_j \delta^l_{d,i,j} * z^{l-1}_{c,i+m,j+n} \tag 5 \end{align} \\$
对比公式(5)和单通道中公式(4),可以发现,损失函数

L

$L$ 关于第

l - 1

$l-1$ 层权重

W_{:, : c, d}^{l - 1}

$W^{l-1}_{:,:c,d}$ 梯度就是以

δ_{d}^{l}

$\delta^l_d$ 为卷积核在

z_{c}^{l - 1}

$z^{l-1}_c$ 上做卷积的结果(这里没有偏置项),单通道对单通道的卷积。

b) 损失函数 $L$ 关于第 $l-1$ 层偏置 $b^{l-1}$ 的梯度同

\begin{aligned} (6) & \frac{\partial L}{\partial b_{d}^{l - 1}} = \sum_{i} \sum_{j} δ_{d, i, j}^{l} \end{aligned}

$\begin{align} \frac {\partial L} {\partial b^{l-1}_d} =\sum_i \sum_j \delta^l_{d,i,j} \tag 6 \end{align}$

l-1层梯度

由单通道可知第 $l$ 层的第 $d$ 个通道传给第 $l-1$ 层 $c$ 通道的梯度为:

\begin{matrix} (7) & \sum_{m = 0}^{k_{1}^{l - 1} - 1} \sum_{n = 0}^{k_{2}^{l - 1} - 1} r o t_{180^{\circ}} W_{m, n, c, d}^{l - 1} p δ_{d, i + m, j + n}^{l} \end{matrix}

$\sum_{m=0}^{k_1^{l-1}-1} \sum_{n=0}^{k_2^{l-1}-1}rot_{180^\circ} W^{l-1}_{m,n,c,d}p\delta^{l}_{d,i+m,j+n} \tag 7$

而l层的每个通道都有梯度返回给第l-1层的第c个通道，因此有:

\begin{matrix} (8) & δ_{c, i, j}^{l - 1} = \sum_{d = 1}^{C^{l}} \sum_{m = 0}^{k_{1}^{l - 1} - 1} \sum_{n = 0}^{k_{2}^{l - 1} - 1} r o t_{180^{\circ}} W_{m, n, c, d}^{l - 1} p δ_{d, i + m, j + n}^{l} \end{matrix}

$\delta^{l-1}_{c,i,j}=\sum_{d=1}^{C^l}\sum_{m=0}^{k_1^{l-1}-1} \sum_{n=0}^{k_2^{l-1}-1}rot_{180^\circ} W^{l-1}_{m,n,c,d}p\delta^{l}_{d,i+m,j+n} \tag 8$

其中：

\begin{matrix} (12) & p δ_{d, i, j}^{l} = {\begin{cases} δ_{d, i - k_{1}^{l - 1} + 1, j - k_{2}^{l - 1} + 1}^{l} & i \in [k_{1}^{l - 1} - 1, H^{l} + k_{1}^{l - 1} - 2] 且 j \in [k_{2}^{l - 1} - 1, {\hat{W}}^{l} + k_{2}^{l - 1} - 2] \\ 0 & i, j 其 它 情 况 \end{cases} \end{matrix}

$p\delta^l_{d,i,j}=\begin{cases} \delta^l_{d,i-k_1^{l-1}+1,j-k_2^{l-1}+1} & i \in[k_1^{l-1}-1,H^l+k_1^{l-1}-2] 且j \in [k_2^{l-1}-1,\hat W^l+k_2^{l-1}-2] \\ 0 & i,j其它情况 \tag {12} \end{cases}$