2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)
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Description
作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。
Output
包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)
Sample Input
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
Sample Output
2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;
60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
HINT
Source
思路:
用传说中的莫队算法来解决这道题。
莫队算法其实是一种暴力的算法,但是它暴力的很巧妙。它用了离线处理和分块的方法解决问题。
莫队算法能解决很多看起来很棘手的问题,但是使用它时要满足这样的条件:
1.允许离线处理
2.知道[L,R]区间的答案,能O(1)的知道[L,R+1],[L+1,R],[L-1,R],[L,R-1]这些区间的答案。
这样最后时间复杂度为O(n*sqrt(n))。
分析这道题,在一个区间内答案应该是 。
因为
转化一下可以变成
而每一次L和R进行转移的时候,因为答案是累加的所以要先把这个减去,然后再加上更改后的或者
代码:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5e4+5;
typedef long long ll;
int col[maxn];
ll sum[maxn];
int pos[maxn];
ll ans;
struct res
{
ll a,b;
}p[maxn];
struct node
{
int l,r,id;
}q[maxn];
ll gcd(ll a,ll b)
{
if(b==0)
return a;
return gcd(b,a%b);
}
ll cal(ll x)
{
return x*x;
}
bool cmp(node a,node b)
{
if(pos[a.l]==pos[b.l])
return a.r<b.r;
return pos[a.l]<pos[b.l];
}
void add(int x,int c)
{
ans-=cal(sum[col[x]]);
sum[col[x]]+=c;
ans+=cal(sum[col[x]]);
}
int main()
{
int n,m;
ll a,b;
scanf("%d%d",&n,&m);
int sz=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&col[i]);
pos[i]=i/sz;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
q[i].id=i;
}
sort(q+1,q+1+m,cmp);
int l=1,r=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
while(l<q[i].l) add(l,-1),l++;
while(l>q[i].l) add(l-1,1),l--;
while(r<q[i].r) add(r+1,1),r++;
while(r>q[i].r) add(r,-1),r--;
if(q[i].l==q[i].r)//防止com为0
{
p[q[i].id].a=0;
p[q[i].id].b=1;
continue;
}
a=ans-(q[i].r-q[i].l+1);
b=(ll)(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
ll com=gcd(a,b);
a/=com,b/=com;
p[q[i].id].a=a,p[q[i].id].b=b;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld/%lld\n",p[i].a,p[i].b);
return 0;
}