错排问题:
n个人各写一张贺卡,有多少种赠送方式?(即满足每个人拿到的都不是自己写的贺卡)
错排公式:
D(n)=(n-1)*( D(n-1) + D(n-2) ),易得 D(1)=0 , D(2)=1。
公式推导:
假设第一个人的贺卡,他有(n-1)种赠送方式,当他放在第k个位置上时。分以下两种情况:
1.当第k个人的贺卡放在第一个人的位置上时,剩下的问题就是n-2错排问题,即D(n-2)。
2.当第k个人的贺卡不放在第一个人的位置上时,我们可以把第一个人的位置看作第k个人的位置(因为第k个人的贺卡根据前提条件不能放在上面),剩下的问题就是n-1错排问题,即D(n-1)。
k有(n-1)种情况。
所以可得公式:D(n)=(n-1)*( D(n-1) + D(n-2) )
公式再推导:
D(n)=n!*( 1/2! - 1/3! + 1/4! - 1/5! + ··· ··· + ( (-1)^(n-1)) / (n-1)!+( (-1)^n)/n! )(将D(n)=n! N(n)可推得)