sumdiv 题解

这个题目真的是大杂烩。
先上题目：
求A^B的所有约数之和mod9901（1<=A,B<=5*10^7）
这个题目是经典数论，因为考的实在是太多了，先列举一下知识点：快速幂、等比数列、乘法逆元、分解质数、约数和。真的是太多了，下面我们一一讲一下，先快速幂，快速幂比较推荐的是一个非递归的，因为有些数据大了，递归会MLE。
下面上代码：

#include<iostream>
using namespace std;
long long quickpow(long long a,long long b,long long n) //表示a^b%n 
{
    long long anser=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)//若果b是奇数，因为b/2会向下取整所以要多乘个a 
            anser=anser*a%n;
        a=a*a%n;//乘以a的原因是因为无论b是多少，都一定会变为1，所以最后一定会乘一下 
        b=b/2;
    }
    return anser;
}
int main()
{
    long long a,b,n,ans;
    cin >>a>>b>>n;
    ans=quickpow(a,b,n);
    cout <<ans; 
    return 0;
}

等比数列是一个思想的推理，并没有代码，下面在讲解题目中提。
乘法逆元是一个转换的思想，若果有a/b要求值，可是要把a和b都求出来太麻烦了，于是我们求b的乘法逆元，也就是x，使得a/b=a*x,这个是还好的，不会太难。在代码中会再解释。
分解质数这个就要背了，不背就gg了，下面上代码：
思想就是不断找到因数相除。

void divide(long long n)
{
    m=0;
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)//枚举所有n的因数，有个点就是我们只要枚举到根号n就好了 
    {
        if(n%i==0)//如果是它的因数 
        {
            p[++m]=i,c[m]=0;//p数组存可以的因数，c存相应的因数有几个 
            while(n%i==0)//可以的话一直计算 
            {
                n/=i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n>1)//后面还有剩直接赋值 
    {
        p[++m]=n;
        c[m]=1;
    }
}

还有约数和就是有个公式一个数肯定可以质因数分解嘛，分解成（p1^c1*p2^c2*p3^c3……）
所以约数和就是（1+p1+p1^2+p1^3+p1^4……+p1^c1）(1+1+p2+p2^2+p2^3+p2^4……+p2^c2)……(1+pn+pn^2+pn^3……pn^cn)。
这个在此就不多证明了，数论最重要的还是背公式、结论、代码。
下面讲一下这一题的思路：
我们把a质因数分解成（p1^c1*p2^c2*p3^c3……），约数和就是（1+p1+p1^2+p1^3+p1^4……+p1^c1）(1+1+p2+p2^2+p2^3+p2^4……+p2^c2)……(1+pn+pn^2+pn^3……pn^cn)，其实这些都是很像的所以我们一个一个用公式计算先看（1+p1+p1^2+p1^3+p1^4……+p1^c1），我们把它乘以（p1-1）发现可以化成（p^(c1+1)-1）而b的处理就是次方都成一b就可以了，所以可以化成（p^(b*c1+1)-1）因为这个是我们乘以（p1-1）得来的所以要再除一下就变成（p^(b*c1+1)-1）/(p1-1),这样直接计算就可以了，先看分子，我们可以用快速幂直接做好，也就是p^(b*c1+1)mod9901 然后再-1，就ojbk了。至于分子我们用乘法逆元，先讨论分母不是9901的倍数，根据费马小定理可以知道乘法逆元就是（（p1-1）^(mod-2）,这个是公式要记一下，那个小本本。再看一下是9901的倍数，这样mod9901就会变成b*c1+1这样就更加美滋滋了
这样就好了，看一下代码实现：

#include<iostream>
using namespace std;
long long a,b,m,ans=1,mod=9901,p[20],c[20];
void divide(long long n)
{
    m=0;
    for(long long i=2;i*i<=n;i++)//枚举所有n的因数，有个点就是我们只要枚举到根号n就好了 
    {
        if(n%i==0)//如果是它的因数 
        {
            p[++m]=i,c[m]=0;//p数组存可以的因数，c存相应的因数有几个 
            while(n%i==0)//可以的话一直计算 
            {
                n/=i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n>1)//后面还有剩直接赋值 
    {
        p[++m]=n;
        c[m]=1;
    }
}
long long power(long long a,long long b)//求快速幂，我们已经设了mod为全局，就不用传了 
{
    long long anser=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)//如果是奇数 
            anser=anser*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b=b/2;
    }
    return anser;
}
int main()
{
    cin >>a>>b;//输入 
    divide(a);//质因数分解 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if((p[i]-1)%mod==0)//是倍数的话 
            ans=(b*c[i]+1)%mod*ans%mod;
        else 
        {
            long long x=power(p[i],b*c[i]+1);//计算分母 
            x=(x-1+mod)%mod;//不要忘了mod 
            long long y=p[i]-1;//计算分子 
            y=power(y,mod-2);
            ans=ans*x%mod*y%mod;
        }
    }
    cout <<ans<<endl;//开心地输出答案 
    return 0;
}

好了，这一题就算完了，希望对大家有帮助，上述的计算公式大家也最好自己写一下，推导一下，不会的可以评论留言，我会看看，然后讲一下。

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