二元正态分布随机变量
如果随机变量
X、
Y的联合PDF为
pX,Y(x,y)=2πσxσY1−p2
1exp⎩⎨⎧−2(1−ρ2)σX2(x−μX)2+σY2(y−μY)2−σXΣY2ρ(x−μX)(y−μY)⎭⎬⎫
则称
X、
Y满足二元正态分布,其中
X∼N(μX,σX2),Y∼N(μY,σY2),协方差
CXY=E{XY}−μXμY,相关系数
ρ=σXσYCXY。
进一步进行归一化处理,设
V=σXX−μx, W=σYY−μY
则有
pV,W(v,w)=2π1−ρ2
1exp{−2(1−ρ2)v2−2ρvw+w2}.
下面来求
V,W的条件PSD。由于
v2+w2−2ρvw=(w−ρv)2+v2(1−ρ2)
因此
pV,W(v,w)=2π
1exp{−2v2}2π(1−p2)
1exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}
进一步,我们有
pV(v)=2π
1exp{−2v2}
故
pW∣V(w∣v)=2π(1−ρ2)
1exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}.
所以
E[W∣V]=ρv,σW∣V2=1−ρ2.
我们再来看X、Y的条件PSD,因为
pX,Y(x,y)=2πσXσY1−p2
1exp⎩⎨⎧−2(1−ρ2)σX2(x−μX)2+σY2(y−μY)2−σXσY2ρ(x−μX)(y−μY)⎭⎬⎫=2πσXσY1−p2
1exp{−2(1−ρ2)v2+w2−2ρvw}=2πσXσY1−p2
1exp{−2v2}exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}=2π
σX1exp{−2v2}2π
σY1−p2
1exp{−2(1−ρ2)(w−ρv)2}=σx1pX(x)σy1pY∣X(y∣x)
故有
pY∣X(y∣x)=σY⋅pW∣X(w∣x).