利用级数求和推导泊松分布的期望方差

@(概率论)

闲来无事，动手推导一个常见的泊松分布的表达式相关的数字特征： EX,DX。并通过这个过程思考级数求和的注意事项。

回顾泊松分布：

设变量X服从$\lambda$的泊松分布，则：

$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,....$

泊松分布的表达式非常优美，但是需要强调的是k是从0开始的离散数字。这在级数中，相当重要，首项是否为0决定了整个求和的结果，所以我会多次强调，每一步注意清理掉首项为0的项才进入下一步，好像抖掉灰尘一样才往前走。

不啰嗦，直接看EX,DX的求法。

EX

$$EX = \sum_{k = 0}^{\infty}kP(X=k) \\ = \sum_{k = 0}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ $$

看到这个形式，就有了努力的方向：往

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ 上靠，挡在这个目标前面的障碍–系数，多余的变量等，能抽出去的，能被求导求积分吸收的，全都处理掉，现在有非常明确的目标，要往已知的级数展开式上 靠拢。包括下标，为了凑到一样起始的下标，可能多出变量，么事，抽到求和符号前面去。 不要把与下标相关的量抽出去了。

有了这个铺垫，我们观察：

• 首项为0，先去掉：

  $$\sum_{k = 1}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$

• 前面的k去掉，把与下标无关的量$e^{-\lambda}$抽出去：

  $$e^{-\lambda}\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}$$

• 很靠近了,下标调整，即变为从0开始：

  $$e^{-\lambda}\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\lambda^{k+1}}{k!}$$ 分子分母都有变化。

• 分子多个$\lambda$，提出去：

  $$e^{-\lambda}\lambda \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}$$

到这里，终于完成了目标，有了和$e^x$展开式一样的部分了。

$$\rightarrow EX = e^{-\lambda}\lambda e^{\lambda} = \lambda$$

具体任务完成了一半，但是理解了这个过程，抽象得说，完成了90%。

DX

$DX = EX^2 - (EX)^2$

只需要求解$EX^2$即可。

$$EX^2 = \sum_{k = 0}^{\infty}k^2P(X=k) \\ = \sum_{k = 0}^{\infty}k^2 \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \\ = \sum_{k = 1}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda} \\ = e^{-\lambda} \sum_{k = 1}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{(k-1)!}$$

来了，吸收系数。

左右出现的用积分吸收，要能吸收得把自己的姿态摆低，即幂次要比系数小1才好吸收。那么抽出去一个$\lambda$即可。

$$e^{-\lambda} \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}k \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}\\ = e^{-\lambda} \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{(\lambda^{k})'}{(k-1)!}\\ = e^{-\lambda} \lambda \sum_{k = 1}^{\infty}\big(\frac{\lambda^{k}}{(k-1)!}\big)'\\ = e^{-\lambda} \lambda\big(\lambda \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}\big)'\\ = e^{-\lambda}\lambda\big(\lambda e^{\lambda}\big)' = \lambda^2+\lambda$$

好了，$DX = \lambda$。

这些计算是不是一定要掌握，可以直接利用即可，但是通过这个推导可以touch到微积分中的无穷级数求和问题的三个重要的点：

• 首项为0的及时去掉
• 下标调整到和常用级数展开式一致
• 动用求导求积分吸收系数

这些是基本法，是理解掌握以后，内化的技能。如果没有掌握，则很难变通。

-以此自勉而已。

隔夜槽：CSDN的Latex解析要比马克飞象的语法解析在细节上有许多不同，或者更严格。边写边解析，就带不动了。