概述
首先我们要知道什么是组合数。具体可以参考我之前的博客 “排列与组合”笔记 中,集合的组合的部分。
这里复述如下: 令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元素中对r个元素的无序选择。换句话说,S的一个r-组合是S的一个子集,该子集由S的n个元素中的r个组成,即S的一个r-元素子集。
由此,求解组合数即变成了求式子C(n, r) 的值。
法一:Pascal公式打表
由Pascal公式(参考 组合数学笔记之二——二项式系数),我们知道
取二维数组 tC[][] ,初始化 tC[0][0] = 1; 打表即可。代码最简单,如下:
const int maxn(1005), mod(100003);
int tC[maxn][maxn]; //tC 表示 table of C
inline int C(int n, int k)
{
if(k > n) return 0;
return tC[n][k];
}
void calcC(int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
tC[i][0] = 1;
for(int j = 1; j < i; j++)
tC[i][j] = (C(i - 1, j - 1) + C(i - 1, j)) % mod;
tC[i][i] = 1;
}
}
计算
当然我们知道
const int maxn(10005), mod(100003);
int tC[maxn * maxn]; //tC 表示 table of C
inline int loc(int n, int k) // C(n, k)返回在一维数组中的位置
{
int locate = (1 + (n >> 1)) * (n >> 1); // (n >> 1) 等价于 (n / 2)
locate += k;
locate += (n & 1) ? (n + 1) >> 1 : 0; // (n & 1) 判断n是否为奇数
return locate;
}
inline int C(int n, int k)
{
if(k > n) return 0;
k = min(n - k, k);
return tC[loc(n, k)];
}
void calcC(int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
tC[loc(i, 0)] = 1;
for(int j = 1, e = i >> 1; j <= e; j++)
tC[loc(i, j)] = C(i - 1, j) + C(i - 1, j - 1);
}
}
同样,要得到
显然,由于空间的限制,pascal打表的方式并不适合求取一些比较大的组合数。例如,我们现在要求取的组合数的
法二:逆元求取组合数
由定理可知:如果用C(n, r)表示n-元素集的r-组合的个数,有
而我们的目标就是计算
由数论的知识我们知道,模运算的加法,减法,乘法和四则运算类似,即:
模运算与基本四则运算有些相似,但是除法例外。其规则如下:
- (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
- (a - b) % p = (a % p - b % p) % p
- (a * b) % p = (a % p * b % p) % p
但对于除法却不成立,即(a / b) % p
显然数学家们是不能忍受这种局面的,他们扔出了“逆元”来解决这个问题。那么什么是逆元? 逆元和模运算中的除法又有说明关系呢?
首先给出数论中的解释:
对于正整数
a 和p ,如果有ax≡1(modp) ,那么把这个同余方程中x 的最小正整数解叫做a 模p 的逆元。
什么意思呢? 就是指,如果
现在我们来解决模运算的除法问题。假设
同时存在另一个数
由模运算对乘法成立,两边同时乘以
如果
等式两边再同时乘以
因此可以得到:
哎,x是b的逆元呀(x 在模运算的乘法中等同于
由以上过程我们看到,求取
而求取一个数的逆元,有两种方法
拓展欧几里得算法
费马小定理
对于利用拓展欧几里得算法求逆元,很显然,如果
exgcd(b, p, x, y)
(代码实现在后面给出),则
对于第二种方法,因为在算法竞赛中模数p总是质数,所以可以利用费马小定理 :
可以直接得到
明白了以上几个关键点,那么求取组合数
- 求取1到n的阶乘对 mod 取模的结果存入数组 JC[] 中;
- 求取
C(n,r) 时, 先利用“拓展欧几里得算法”或者“费马小定理+快速幂”求 JC[r]的逆元存入临时变量x1 ; - 然后计算
JC[n]∗x1%mod 存入临时变量x2 ;(x2 即为n!r!%mod 的值) - 求取JC[n - r] 的逆元存入临时变量
x3 ; - 则可以得到
C(n,r)=x2∗x3%mod
下面是方法二的代码片段:
typedef long long LL;
const LL maxn(1000005), mod(1e9 + 7);
LL Jc[maxn];
void calJc() //求maxn以内的数的阶乘
{
Jc[0] = Jc[1] = 1;
for(LL i = 2; i < maxn; i++)
Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
/*
//拓展欧几里得算法求逆元
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) //拓展欧几里得算法
{
if(!b) x = 1, y = 0;
else
{
exgcd(b, a % b, y, x);
y -= x * (a / b);
}
}
LL niYuan(LL a, LL b) //求a对b取模的逆元
{
LL x, y;
exgcd(a, b, x, y);
return (x + b) % b;
}
*/
//费马小定理求逆元
LL pow(LL a, LL n, LL p) //快速幂 a^n % p
{
LL ans = 1;
while(n)
{
if(n & 1) ans = ans * a % p;
a = a * a % p;
n >>= 1;
}
return ans;
}
LL niYuan(LL a, LL b) //费马小定理求逆元
{
return pow(a, b - 2, b);
}
LL C(LL a, LL b) //计算C(a, b)
{
return Jc[a] * niYuan(Jc[b], mod) % mod
* niYuan(Jc[a - b], mod) % mod;
}
以上即为逆元求取组合数的方法,无论使用拓展欧几里得还是费马小定理,一开始求取Jc数组是的复杂度是
以上です。