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马上要写莫比乌斯总结了,先打个基础呗。
写莫比乌斯题目时常用的一些数学技巧:
1.分块加速
求,n/i是整除,就是一个函数值,不用太注意,就看做一个数组。
假设n=10;
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
n/i | 10 | 5 | 3 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
n/i有不少重复值出现,以重复的部分为块,然后分块提公因式求和!
每一块都是连续的,问题变成了找块的右端点。n/i是这个除法的商,不妨用n/(n/i)就得到了这个商下最大的i,自己手写几个就理解了!
得到块端点,显然每一块需要算函数的前缀和就可以一次把贡献值选出来了
for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
{
last=n/(n/i);//块端点
ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i);
}
复杂度是O(sqrt(n));不关心证明+...+
进阶一:如果有多个块那么取小的那个,因为要保证每个块值不变,比如算(n/i)*(m/i),1<=i<=min(n,m)
for(int i=1,last=0;i<=n;i=last+1)
{
last=min(m/(m/i),n/(n/i));//块端点
ans+=(sum[last]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
}
进阶二:四个块,算[le,ri]就是一个区间,首先肯定是四块取最小的分块线,不过这里le比较麻烦,随着i增大,le/i=0,这时还不能停,因为还有ri,但是0不能被除,所以要判一下,如果le/i为0那么这一块的端点直接无穷大。
2.线性筛法的真正价值
令d(x)表示x的因子(或者叫约数)个数
约数定理:,则.
现在用线性筛法打一个d(x)的表:
既然线性筛时,每个数都是被它最小的素因子筛掉的,那么用g[i]表示i的最小素因子的幂次,注意d(x)的表达式,它是部分积性函数d(p1^a1*p2^a2)=d(p1^a1)*d(p2^a2)
void init()
{
memset(vis,false,sizeof vis);
mb[1]=1;
d[1]=1;
g[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
{
if(!vis[i]) {
pri[tot++]=i;
d[i]=2;//素数的约数有两个
g[i]=1;//更新g[i]
}
for(int j=0;j<tot && i*pri[j]<N;j++)
{
vis[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j]) {//pri[j]是i没有的,相当于多了一项幂次为一的
d[i*pri[j]]=d[i]*2;//部分积性
g[i*pri[j]]=1;
}
else {
//这个麻烦,除掉原先的,乘上新的幂次
d[i*pri[j]]=d[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);//除掉后才能积性
g[i*pri[j]]=g[i]+1;
break;
}
}
}
}
线性筛主要用来算一些乱七八糟的函数,慢慢积累
3.和式的下标转换
注意里面有个数论符号 d|x 表示x是d的倍数,专业术语叫d整除x ,比如x=2,n=7就是f(2)+f(4)+f(6)
简单变化一下,枚举x的倍数i,因为d=x*i的.
变成这样。
再来一个多重和式,这里对于i*j而言,i,j的枚举范围互不影响,两个变量独立,所以化简为:
。
先就进这些,后面要结合题目的技巧比较难!