简单数列举例及应用
令
表示一个数列,
算数数列
每一项都比前一项大一个常数
有递推关系
并且可以知道算数数列的部分和(前n项和,n为任意非负整数)
几何序列
每一项都是前一项的常数
有递推关系
也可以知道集合序列的部分和为
斐波拉契(Fibonacci)序列
其递推关系为
其部分和满足
斐波拉契数满足公式
虽然斐波拉契数是整数,可是对这些显式公式却包含无理数
线性齐次递推关系
令
是一个数列。如果存在量
则称该序列满足k阶线性递推关系。
例如 错位排列
第一个递推关系的阶为2,且
由例子可知,量
如果
其中,
递推关系可以重写为 :
一旦所谓的初始值即
定理 令
q 为一非零数。则hn=qn 是常系数线性齐次递推关系的解,当且仅当hn−a1hn−1−a2hn−2−⋯−akhn−k=0(ak≠0n≥k) q 是多项式方程的一个根。如果多项式有 k 个不同的根xk−a1xk−1−a2xk−2−⋯−ak=0 q1,q2,⋯,qk ,则是下述意义下递推关系的一般解 : 无论给定hn=c1qn1+c2qn2+⋯+ckqnk h9,h1,h2,⋯,hk−1 什么初始值,都存在常数c1,c2,c3,⋯,ck ,使得上述的hn 的一般解是满足递推关系和初始条件的唯一的序列。
上述定理中关于x的多项式方程叫做该递推关系的特征方程,而它的k个根叫做特征根。由上述定理,如果特征根互异,那么 关于
定理 令
q1,q2,⋯,qt 是常系数线性递推关系的特征方程的互异的根。 此时,如果hn−a1hn−1−a2hn−2−⋯−akhn−k=0(n≥k) qi 是si 重根, 则该递推关系对qi 的部分一般解为H(i)n=(n−1)Dn−1+(n−1)Dn−2=(c1+c2n+⋯+csinsi−1)qni
递推关系的一般解则是
非齐次递推关系
非齐次递归关系,即在
例如
Hanoi塔问题中,将n个圆盘从一个针柱移动到另一个针柱上所必须的移动次数满足
这是一个1阶常系数线性递推关系,但却不是齐次的,因为出现了1这一项。 将
于是数
的部分和,即
常系数一阶线性递推关系的解法
现在我们来阐述求解常系数一阶线性递推关系,即形式为
的递推解法。
类似于求解非齐次微分方程方法的离散模拟。可以总结如下:
- 求齐次关系的一般解;
- 求非齐次关系的一个特解。
- 将一般解和特殊解联合,确定一般解中出现的常数值,使得联合的解满足初始条件。
主要的困难在于找出步骤2的特解。在常系数一阶线性递推关系中的非齐次部分
- 如果
bn 是n的k次多项式,那么寻找也是n的k次多项式的特解hn 。因此尝试
1.hn=r(常数)如果bn=d(常数)
2.hn=rn+s如果bn=dn+e
3.hn=rn2+sn+t如果bn=fn2+dn+e - 如果
bn 是指数形式,那么寻找的特解也是指数形式。因此尝试
hn=pdn或者bn=dn
例 求解
由于齐次关系
为求
要想
消元后,该方程化为
因此
对常数的每一个选择都是一个解。现在要确定
这就给出
解答完毕。
要注意,用上述方法求解递推关系
生成函数
令
为一无穷序列。它的生成函数定义为无穷级数
在
可以看成无穷序列
在这个序列中,除去有限项外所有其余的项都等于0。因此,每个有限序列都有一个生成函数
它是一个多项式。
例 令
的生成函数是
根据二项式定理可知
它以紧凑形式显示出关于二项式系数的序列信息。
常用生成函数:
-
hn=1 的生成函数为g(x)=1+x+x2+x3+⋯+xn+⋯ 。其值为g(x)=11−x - 令
α 是一个实数。由牛顿二项式定理, 二项式系数C(α,0),C(α,1),C(α,2),⋯,C(α,n),⋯ 的无穷序列的生成函数是g(x)==C(α,0)+C(α,1)x+C(α,2)x2+⋯+C(α,n)xn+⋯(1+x)2 - 令
k 是一个整数,并令序列h0,h1,h2,⋯,hn,⋯ 使hn 等于e1+e2+⋯+ek=n 的非负整数个数。从多重集的组合 知道hn=C(n+k−1,n) , 其生成函数为g(x)==∑n=0∞C(n+k−1,n)xn1(1−x)k
递归和生成函数
这一节介绍如何用生成函数求解常系数线性齐次递推关系。
定理 令
为满足线性齐次递推关系h0,h1,h2,⋯,hn,⋯ 的数列。则它的生成函数h0+c1hn−1+⋯+ckhn−k=0,ck≠0,(n≥k) g(x) 形如其中,g(x)=p(x)q(x) q(x) 为具有非零常数项的k 次多项式,p(x) 是小于k 次的多项式。反之,给定这样的p(x) 和q(x) ,则存在序列h0,h1,h2,⋯,hn,⋯ , 满足形如递推关系公式的k 阶常系数线性齐次递推关系,其生成函数由p(x)q(x) 给出。
且在上述定理中,
和
指数生成函数
对于其项可计数的序列,可以考虑关于单项式
的生成函数更有用。这些单项式出现在
中。关于上述单项式序列的生成函数就做指数生成函数
定理 令
S 为多重集n1∗a1,n2∗a2,⋯,nk∗ak ,其中n1,n2,⋯,,nk 均为非负整数。令hn 是S 的 n-排列数。则序列h0,h1,h2,⋯,hn,⋯ 的指数生成函数g(e)(x) 由给定,其中,对于g(e)(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x) i=1,2,⋯,k ,fni(x)=h0+h1x+h2x22!+⋯+hnxnini!
例 确定用红色,白色和蓝色对一行n列棋盘的方格涂色的方法数
指数生成函数
因此
以上です。