这一章讲的是递推关系求解的几种方法
一、利用特征方程求解
1.线性齐次递推关系
比如递推关系是
hn=a1hn−1+a2hn−2+…+akhn−k
我们设
hn=qn
下面函数的解。
g(x)=xk−a1xk−1−…−ak−1x−ak
我们称这个函数为特征函数。
无重根时:
所以解就是
hn=x1qn1+x2qn2+…+xkqnk
例题:
求
hn=2hn−1+2hn−2h0=1,h1=3
解:特征方程为
x2−2x−2=0
得
q1=1+3–√q2=1−3–√
即
hn=c1(1+3–√)n+c2(1−3–√)n
根据
h0=1,h1=3
得
hn=2+3–√23–√(1+3–√)n+−2+3–√23–√(1−3–√)n
有重根时:
解就是:
hn=∑i=1tPi(n)qni
例题:
求
hn=−hn−1+3hn−2+5hn−3+2hn−4h0=1,h1=0,h2=1,h3=2
解:特征方程为
x4+x3−3x2−5x−2=0
得
q1=−1(三重),q2=2
即
hn=(c1n2+c2n+c3)(−1)n+c42n
根据
c1,c2,c3,c4
得,
hn=(79−3n9)(−1)n+292n
2.线性非齐次递推关系
类似高数里面的线性非齐次方程的求解(知识是相通的,你一点不会,终会造成大漏洞)。
线性非齐次递推关系的通解=线性齐次递推关系的通解+线性非齐次递推关系的通解
利用公式
例题:求
hn=6hn−1−9hn−2+2nh0=1,h1=0
先求
An=6An−1−9An−2
特征方程:
x2−6x+9=0
得
An=(an+b)3n
特解:类比高数(忘了的自行复习)由于
F(n)=2n∗1n
,1为原函数的0重特征根
所以
Bn=n0(cn+d)1n=cn+d
带入原递推方程
cn+d=6(c(n−1)+d)−9(c(n−2)+d)+2n
得
c=12,d=23
所以,
hn=An+Bn=(an+b)3n+12n+32
带入
h0,h1
得:
hn=(−n6−12)3n+12n+32
转化为线性齐次方程
例题:
an=an−1+n,a0=1
为了方便写博客,我们设
Fn即是an=an−1+n
Fn−Fn−1即是an=2an−1−an−2+1
REDEFINE:Fn即是an=2an−1−an−2+1
Fn−Fn−1即是an=3an−1−3an−2+an−3
根据上面的方法,得:
an=n2+n+12,n≥3
经检验
a0,a1,a2
也符合,得:
an=n2+n+12,n≥0
二、生成函数
三种生成函数:
1.普通生成函数
f(x)=∑∞n=0anxn
2.指数型生成函数:
f(x)=∑∞n=0ann!xn
3.Dirichlet生成函数:
f(s)=∑∞n=1anns
例题:求常数列{1}得三种生成函数
1.
∑∞n=0xn=11−x
2.
∑∞n=0xnn!=ex
3.
∑∞n=11ns:=Zeta(s)
例题:
an=2an−1
生成函数为
f(x)=∑∞n=0anxn=1+∑∞n=1anxn=1+2x∑∞n=0anxn=1+2xf(x)
所以
f(x)=11−2x=∑∞n=0(2x)n=∑∞n=02nxn
所以
an=2n
推论:
∑∞n=0(n+k−1n)=1(1−x)k
例题:从数量不限的苹果、香蕉、橘子和梨中,选取n个水果装成一袋,且选取的苹果数是偶数,香蕉数是5的倍数,橘子最多有4个,而梨最多有一个。记这样的装法有
hn
种,求
hn
。
解:
(1+x2+x4+…)(1+x5+x10+…)(1+x+x2+x3+x4)(1+x)
=11−x2.11−x5.1−x51−x.(1+x)
=1(1−x)2=∑∞n=0(n+1n)
所以,
hn=n+1
Bell数
Bn=∑k=1n(n−1k−1)Bn−k
设
B(x)=∑n≥0Bnn!xn
则
dB(x)dx=exB(x)
所以
B(x)=eex−1
从而
Bn=1e∑∞k=0knk!