Ch02 立方体和 Radon 变换

用 $\mathbb{Z_2}$ 表示 2 阶循环群， $\mathbb{Z_2^n}$ 表示本身的 $n$ 次直积，即为 $0$ 和 $1$ 组成的 $n$ 元组 $(a_1,a_2,...,a_n)$. 定义如下一个称为 $n$ 维立方体的图 $C_n$： $C_n$ 的顶点集为 $V=\mathbb{Z_2^n}$，两顶点 $u$ 和 $v$ 之间有一条边当且仅当它们有一个坐标不同，也就是说， $u+v$ 恰有一个坐标非 $0$.

为了明确地得到 $C_n$ 的特征值和特征向量，采用有限Radon变换。用 $\mathcal{V}$ 表示所有函数 $f:\mathbb{Z_2^n}\to\mathbb{R}$ 的集合，其中 $\mathbb{R}$ 表示实数域。（注意 $\mathcal{V}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 $2^n$ 维向量空间）

定义向量空间 $\mathcal{V}$ 中两组重要的基。对应于每一个 $u\in\mathbb{Z_2^n}$ 在每组基中都有一个基元。

第一组基 $B_1$ 基元 $f_u$ 定义如下：
$f_u(v) = \delta_{uv} \tag{2.2}$

其中 $\delta_{ij}$ 为 Kronecker delta.

$B_1$ 是一组基，因为对 $\forall g\in \mathcal{V}$ 都满足
$\begin{aligned} g = \sum_{u\in\mathbb{Z_2^n} }g(u) f_u \end{aligned} \tag{2.3}$
第二组基 $B_2$ 基元 $\mathcal{X_u}$ 定义如下：
$\mathcal{X_u}(v) = (-1)^{u \cdot v}$

2.1 引理

集合 $B_2 = \{\mathcal{X_u}:u\in\mathbb{X_2^n}\}$ 构成了 $\mathcal{V}$ 的一组基。

Proof:

证明正交：
$\begin{aligned} <\mathcal{X_u}, \mathcal{X_v}> & = \sum_{w\in\mathbb{Z_2^n}} \mathcal{X_u}(w)\mathcal{X_v}(w) \\ & = \sum_{w\in\mathbb{Z_2^n}} (-1)^{(u+v)\cdot w} \\ & = \left\{ \begin{array}{} & 2^n, & when\ u+v=0 \\ & 0, & ow. \\ \end{array} \right. \end{aligned}$
$u+v=0$ 当且仅当 $u=v$，于是正交。

定义 Radon 变换：

给定 $\mathbb{Z_2^n}$ 的子集 $\Gamma$ 和函数 $f\in\mathcal{V}$，定义一个新函数 $\Phi_{\Gamma}f\in \mathcal{V}$ 为：
$\Phi_{\Gamma}f(v) = \sum_{w\in\Gamma}f(v+w)$
函数 $\Phi_{\Gamma}f$ 就称为 $f$（在群 $\mathbb{Z_2^n}$ 上关于其子集 $\Gamma$）的（离散或有限）Radon 变换。

易知 $\Phi_{\Gamma}:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ 是一个线性变换。

2.2 定理

$\Phi_{\Gamma}$ 的特征向量是函数组 $\mathcal{X_u}$，其中 $u\in\mathbb{Z_2^n}$，对应于 $\mathcal{X_u}$ 的特征值 $\lambda_u$（即 $\Phi_{\Gamma}\mathcal{X_u} = \lambda_u\mathcal{X_u}$）是
$\lambda_u = \sum_{w\in\Gamma} (-1)^{u \cdot w}$
Proof:
$\begin{aligned} \Phi_{\Gamma}\mathcal{X_u}(v) & = \sum_{w\in\Gamma} \mathcal{X_u}(v+w) \\ & = \sum_{w\in\Gamma} (-1)^{u \cdot (v+w)} \\ & = (\sum_{w\in\Gamma} (-1)^{u \cdot w}) \mathcal{X_u}(v) \\ \end{aligned}$
因此
$\Phi_{\Gamma}\mathcal{X_u} = (\sum_{w\in\Gamma} (-1)^{u \cdot w}) \mathcal{X_u}$
注意到 $\Phi_{\Gamma}$ 的特征向量 $\mathcal{X_u}$ 与 $\Gamma$ 无关；仅特征值依赖于 $\Gamma$.

现在可以得到主要结果了。设 $\Delta = \{\delta_1,...\delta_n\}$，其中 $\delta_i$ 是第 $i$ 个单位坐标向量。 $\delta_i$ 的第 $j$ 个坐标正好是 $\delta_{ij}$（Kronecker delta）. 用 $[\Phi_\Delta]$ 表示线性变换 $\Phi_\Delta:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$ （关于由(2.2)给出的 $\mathcal{V}$ 的基 $B_1$）的矩阵。

2.3 引理

若 $\pmb{A}(C_n)$ 为 $n$ 维立方体的邻接矩阵，则 $[\Phi_\Delta] = \pmb A(C_n)$.

Proof:
$\begin{aligned} \Phi_\Delta f_u(v) & = \sum_{w\in\Delta} f_u(v+w) \\ & = \sum_{w\in\Delta} f_{u+w}(v) \end{aligned}$
上式是因为 $u=v+w$ 当且仅当 $u+w=v$（没看懂？？？）. 因此
$\Phi_\Delta f_u = \sum_{w\in\Delta} f_{u+w} \tag{2.4}$
于是
$\begin{aligned} (\Phi_\Delta)_{uv} = \left\{ \begin{array}{} & 1,\quad & if\ u+v\in\Delta \\ & 0,\quad & ow. \\ \end{array} \right. \end{aligned}$
$u+v\in\Delta$ 当且仅当 $u$ 和 $v$ 仅有一个坐标不同。这正好是 $uv$ 作为 $C_n$ 的边的条件，证毕。

2.4 推论

$\pmb A(C_n)$ 的特征向量（看作是 $C_n$ 的顶点的线性组合） $E_u$（ $u\in\mathbb{Z_2^n}$）由下式给出
$\begin{aligned} E_u = \sum_{v\in\mathbb{Z_2^n}} (-1)^{u \cdot v} v \end{aligned} \tag{2.5}$
对应于 $E_u$ 的特征值是
$\begin{aligned} \lambda_u = n - 2\omega(n) \end{aligned} \tag{2.6}$
其中 $\omega(n)$ 是 $u$ 中 $1$ 的数目（即 Hamming权），因此 $\pmb A(C_n)$ 有 $\binom{n}{i}$ 个特征值等于 $n-2i$.

Proof:

根据 $(2.3)$ 对 $\forall g\in\mathcal{V}$
$g = \sum_\mathcal{V} g(v) f_v$

对 $g = \mathcal{X_u}$ 应用上式，可得
$\begin{aligned} \mathcal{X_u} = \sum_v \mathcal{X_u}(v) f_v = \sum_v (-1)^{u \cdot v} f_v \end{aligned} \tag{2.7}$

根据定理2.2，对应于 $\Phi_\Delta$ 的特征向量 $\mathcal{X_u}$（或等价地， $\pmb A(C_n)$ 的特征向量 $E_u$）的特征值为
$\begin{aligned} \lambda_u = \sum_{w\in\Delta} (-1)^{u \cdot w} = n - 2\omega(n) \end{aligned} \tag{2.8}$
至此，我们得到了计算 $C_n$ 中游动条数所需的全部信息。

2.5 推论

设 $u,v\in\mathbb{Z_2^n}$，且 $\omega(u+v)=k$（即 $u$ 和 $v$ 恰有 $k$ 个坐标不同）。则在 $C_n$ 中 $u$ 与 $v$ 之间长为 $l$ 的游动的条数为

$\begin{aligned} (\pmb A^l)_{uv} = \frac{1}{2^n} \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^k (-1)^j \binom{k}{j} \binom{n-k}{i-j} (n-2i)^l \end{aligned} \tag{2.9}$
注意到如果 $j \gt i$，则 $\binom{n-k}{i-j} = 0$

特别地，
$\begin{aligned} (\pmb A^l)_{uu} = \frac{1}{2^n} \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (n-2i)^l \end{aligned} \tag{2.10}$
Proof:

令 $E_u^{'} = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}} E_u$ 得到一组标准正交基，根据推论1.2，可得
$(\pmb A^l)_{uv} = \frac{1}{2^n} \sum_{w\in\mathbb{Z_2^n}} E_{uw} E_{vw} \lambda_w^l$
$E_{uw}$ 是展开式 $(2.5)$ 中 $f_w$ 的系数，即 $E_{uw} = (-1)^{u \cdot w}$，而 $\lambda_w = n-2\omega(w)$. 因此
$\begin{aligned} (\pmb A^l)_{uv} = \frac{1}{2^n} \sum_{w\in\mathbb{Z_2^n}} (-1)^{(u+v) \cdot w} (n - 2\omega(n))^l \end{aligned} \tag{2.11}$

$\omega(w) = i$，且与 $u+v$ 有 $j$ 个公共 $1$ 的向量 $w$ 的个数为 $\binom{k}{j}\binom{n-k}{i-j}$， $(2.11)$ 就化简为 $(2.9)$，证毕。