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题意:求指定范围内满足条件的平方和,结果要mod 10^9+7。
满足的条件是:
①不出现7
②各位数和不是7的倍数
③这个数不是7的倍数
这三个都是基础的数位dp问题,但是模板数位dp问题求的是满足条件的数量。这题是求这个范围内数的平方和。
也就是说在DP时候,要重建每个数,算出平方,然后求和。
需要维护三个值(推荐使用结构体), 假定dfs推出返回的结构体是next,当前结果的结构体是ans
①符合条件数的个数 cnt
②符合条件数的和 sum
③符合添加数的平方和 sqsum
①是基础数位DP,直接ans.cnt+=next.cnt
②next.sum+(10^len*i)*ans.cnt,其中(10^len*i)*ans.cnt代表以len为首位的这部分数字和。
③首先重建一下这个数,(10^len*i+x),其中x是这个数的后面部分,则平方和就是(10^len*i)^2+x^2+2*10^len*i*x,其中x^2*next.cnt=next.sqsum
整体还要乘以next.cnt,毕竟不止一个。
于是:
sqsum+=next.sqsum
sqsum+=(2*10^len*i*x)*next.cnt=(2*10^len*i)*next.sum
sqsum+=(10^len*i)^2*next.cnt
注意:mod之后统计函数也有个小陷阱,那就是f(r)在mod之后有可能小于f(l-1)。也就是要对负数取正数模。
负数取模的方法(ans%mod+mod)%mod。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9+7;
int dig[20];
ll p[25];
struct sta{
ll cnt,sum,sqsum;
sta(){cnt=-1;sum=sqsum=0;}
sta(ll cnt,ll sum,ll sqsum):cnt(cnt),sum(sum),sqsum(sqsum){}
}dp[20][10][10];
void init(){
p[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++) p[i]=(p[i-1]*10)%mod;
}
sta dfs(int pos,int pre1,int pre2,bool limit){
if(pos<1) return pre1%7!=0&&pre2%7!=0? sta(1,0,0):sta(0,0,0);
if(!limit&&dp[pos][pre1][pre2].cnt!=-1) return dp[pos][pre1][pre2];
int ed=limit ? dig[pos] : 9;
sta ans;ans.cnt=0;
for(int i=0;i<=ed;i++){
if(i==7) continue;
sta next=dfs(pos-1,(pre1+i)%7,(pre2*10+i)%7,limit&&i==ed);
ans.cnt=(ans.cnt+next.cnt)%mod;
ans.sum=(ans.sum+next.sum+(p[pos]*i)%mod*next.cnt)%mod;
ans.sqsum=(ans.sqsum+next.sqsum)%mod;
ans.sqsum=(ans.sqsum+(2*p[pos]*i)%mod*next.sum%mod)%mod;
ans.sqsum=(ans.sqsum+(next.cnt*p[pos])%mod*p[pos]%mod*i*i%mod)%mod;
}
if(!limit) dp[pos][pre1][pre2]=ans;
return ans;
}
ll sol(ll x){
int t=0;
while(x){
dig[++t]=x%10;
x/=10;
}
return dfs(t,0,0,true).sqsum;
}
int main(){
init();
int T;scanf("%d",&T);
while(T--){
ll l,r;scanf("%lld%lld",&l,&r);
ll ans=sol(r);
ans-=sol(l-1);
printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
}
}