题目链接:莫比乌斯函数之和
1244 莫比乌斯函数之和
基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注
莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下:
如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0。例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k。例如:miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b],S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。
例如:S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。
Input
输入包括两个数a, b,中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)
Output
输出S(a, b)。
Input示例
3 10
Output示例
-1
sol:
杜教筛模板,顺便放点自己整理的东西。
卷积:
- 交换律 :
- 结合律 :
- 分配率 :
- 元函数 :
通用形式
- 为数论函数,求 ,构造 关于 的递推式
- 如果有一个比较好求前缀和的数论函数
常用前缀和结论
-
code:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
const int maxn = 1.2e7+10;
const int sq = 3e5+10;
typedef long long ll;
typedef __int128 lll;
int tot;
bool check[maxn];
ll mu[maxn];
int primes[maxn>>1];
ll ms[sq][2];
ll n;
void init(){
mu[1]=1;
tot=0;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!check[i]){
primes[tot++]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(primes[j]*i>=maxn) break;
check[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]==0) {
mu[i*primes[j]]=0;
break;
}else{
mu[i*primes[j]]=-mu[i];
}
}
}
for(int i=2;i<maxn;i++){
mu[i]+=mu[i-1];
}
}
ll mobi(ll x){
// cout<<x<<endl;
if(x<maxn) return mu[x];
ll& ret = x < sq ? ms[x][0] : ms[n/x][1];
if(ret != -1) return ret;
ll ans=1;
for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1){
ll m = x/i;
j = x/m;
ans-=(j-i+1)*mobi(m);
}
return ret = ans;
}
int main(){
init();
ll a,b;
lll c = a;
scanf("%lld%lld",&a,&b);
memset(ms,-1,sizeof(ms));
n = b;
ll ans=mobi(b);
memset(ms,-1,sizeof(ms));
n = a-1;
ans -= mobi(a-1);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}