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雅可比矩阵
雅可比
雅可比是多元函数的导数形式。例如有6个函数,每个函数都有6个独立变量
y1=f1(x1,x2,x3,x4,x5,x6)y2=f2(x1,x2,x3,x4,x5,x6)⋮y6=f6(x1,x2,x3,x4,x5,x6)(5-58)
用矢量符号表示为
Y=F(X)(5-59)
按照求导法则,有
Y˙=J(X)X˙(5-63)
在任一时刻,X都有一个确定的值,
J(X)是一个线性变换。在每一个新时刻,如果X改变,线性变换也会随之改变。所以雅可比是时变的线性变换。
在机器人学中,通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来,比如
0v=0J(Θ)Θ˙(5-64)
式中,
Θ是操作臂关节矢量,
v是笛卡尔速度矢量。注意,对于任意已知操作臂位形,关节速度和操作臂末端速度的关系是线性的,然而这种线性关系近视瞬时的。
可以定义任何维数的雅可比(包括非方阵形式)。雅可比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度数,雅可比矩阵的列数等于操作臂的关节数量。例如对于通常的6轴机器人,雅可比是
6×6阶的矩阵,
Θ˙是
6×1维的,
0v也是
6×1维的,这个
6×1笛卡尔速度矢量是一个
3×1的线性速度矢量和一个
3×1的角速度矢量组合起来的
0v=[0v0w](5-65)
雅可比矩阵参考坐标系的变换
我们知道,速度在不同参考坐标系中的描述时不一样的,那么雅可比矩阵也是跟参考坐标系相关的。
已知坐标系{B}中的雅可比矩阵
[BvBw]=Bv=BJ(Θ)Θ˙(5-68)
我们要求雅可比矩阵在另一个坐标系{A}中的表达。已知坐标系{B}中的
6×1笛卡尔速度矢量可以通过如下变换得到相对于坐标系{A}的表达式
[AvAw]=[BAR00BAR][BvBw](5-69)
因此可以得到
[AvAw]=[BAR00BAR] BJ(Θ)Θ˙(5-70)
因此,利用下列关系式可以完成雅可比矩阵参考坐标系的变换
AJ(Θ)=[BAR00BAR] BJ(Θ)(5-71)
另外,雅可比矩阵在某些情况下会出现奇异,这里对此暂不讨论。
参考文献
[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.