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力域中的雅可比
功被定义为作用力通过一定距离,它是以能量为单位的标量。如果令位移趋向于无穷小,就可以用虚功原理来描述静止的情况。功具有能量的单位,所以它在任何广义坐标系下的测量值都相同。特别是在笛卡尔空间做的功等于关节空间做的功。在多维空间,功是一个力或力矩矢量与位移矢量的点积,因此有
式中
是一个作用在末端执行器上的
维笛卡尔力-力矩矢量,
是末端执行器的
维无穷小的笛卡尔位移矢量,
是
维关节力矩矢量,
是
维无穷小的关节位移矢量。
式(5-91)向量点乘可以写成下面矩阵乘法的形式
雅可比矩阵的定义为
因此可以写出
对所有的
,上式均成立,因此有
对上式两边转置得
可见,雅可比的转置将作用在手臂上的笛卡尔力映射成了等效关节力矩。当得到相对于坐标系{0}的雅可比矩阵后,可以有下式对坐标系{0}中的力矢量进行变换
当雅可比不满秩时,存在某些特定方向,末端执行器在这些方向上不能施加期望的静力。在力域中和位置域中奇异性都是存在的。
参考文献
[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.