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Description
给出一个整数数组,堆化操作就是把它变成一个最小堆数组。
对于堆数组A,A[0]是堆的根,并对于每个A[i],A [i * 2 + 1]是A[i]的左儿子并且A[i * 2 + 2]是A[i]的右儿子。
说明
什么是堆?
- 堆是一种数据结构,它通常有三种方法:push, pop 和 top。其中,“push”添加新的元素进入堆,“pop”删除堆中最小/最大元素,“top”返回堆中最小/最大元素。
什么是堆化?
- 把一个无序整数数组变成一个堆数组。如果是最小堆,每个元素A[i],我们将得到A[i * 2 + 1] >= A[i]和A[i * 2 + 2] >= A[i]
如果有很多种堆化的结果?
- 返回其中任何一个。
样例
给出 [3,2,1,4,5]
,返回[1,2,3,4,5]
或者任何一个合法的堆数组
挑战
O(n)的时间复杂度完成堆化
Solution
基于 Siftup 的版本 O(nlogn)O(nlogn)
算法思路:
- 对于每个元素A[i],比较A[i]和它的父亲结点的大小,如果小于父亲结点,则与父亲结点交换。
- 交换后再和新的父亲比较,重复上述操作,直至该点的值大于父亲。
时间复杂度分析
- 对于每个元素都要遍历一遍,这部分是 O(n)O(n)。
- 每处理一个元素时,最多需要向根部方向交换 lognlogn 次。
因此总的时间复杂度是 O(nlogn)O(nlogn)
public class Solution {
/*
* @param A: Given an integer array
* @return: nothing
*/
Version 2: This cost O(nlogn)
public void heapify(int[] A) {
// write your code here
for (int i = 0; i < A.length; i++) {
siftup(A, i);
}
}
private void siftup(int[] A, int k) {
while (k != 0) {
int father = (k - 1) / 2;
if (A[k] > A[father]) {
break;
}
int temp = A[k];
A[k] = A[father];
A[father] = temp;
k = father;
}
}
}
基于 Siftdown 的版本 O(n)O(n)
算法思路:
- 初始选择最接近叶子的一个父结点,与其两个儿子中较小的一个比较,若大于儿子,则与儿子交换。
- 交换后再与新的儿子比较并交换,直至没有儿子。
- 再选择较浅深度的父亲结点,重复上述步骤。
时间复杂度分析
这个版本的算法,乍一看也是 O(nlogn)O(nlogn), 但是我们仔细分析一下,算法从第 n/2 个数开始,倒过来进行 siftdown。也就是说,相当于从 heap 的倒数第二层开始进行 siftdown 操作,倒数第二层的节点大约有 n/4 个, 这 n/4 个数,最多 siftdown 1次就到底了,所以这一层的时间复杂度耗费是 O(n/4)O(n/4),然后倒数第三层差不多 n/8 个点,最多 siftdown 2次就到底了。所以这里的耗费是 O(n/8 * 2), 倒数第4层是 O(n/16 * 3),倒数第5层是 O(n/32 * 4) ... 因此累加所有的时间复杂度耗费为:
T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...
然后我们用 2T - T 得到:
2 * T(n) = O(n/2) + O(n/4 * 2) + O(n/8 * 3) + O(n/16 * 4) ...
T(n) = O(n/4) + O(n/8 * 2) + O(n/16 * 3) ...
2 * T(n) - T(n) = O(n/2) +O (n/4) + O(n/8) + ...
= O(n/2 + n/4 + n/8 + ... )
= O(n)
因此得到 T(n) = 2 * T(n) - T(n) = O(n)
public class Solution {
/*
* @param A: Given an integer array
* @return: nothing
*/
// Version 1: this cost O(n)
public void heapify(int[] A) {
for (int i = (A.length - 1) / 2; i >= 0; i--) {
siftdown(A, i);
}
}
private void siftdown(int[] A, int k) {
while (k * 2 + 1 < A.length) {
int son = k * 2 + 1; // A[i] 的左儿子下标
if (k * 2 + 2 < A.length && A[son] > A[k * 2 + 2]) {
son = k * 2 + 2; // 选择两个儿子中较小的
}
if (A[son] > A[k]) {
break;
}
int temp = A[son];
A[son] = A[k];
A[k] = temp;
k = son;
}
}
}