题意
给一个正整数L,L ≤2*109.
至少多少个连在一起的8组成的正整数是L的倍数?
分析
随便列举一个一串8组成的数
88888=8*11111=8*99999/9=8*(105-1)/9
所以k*L=8/9*(10x-1)
设d=gcd(L,8)
9*k*L/d=8*(10x-1) /d
观察上面的式子,可发现9*L/d和8/d是没有公因数的
所以 9*L/d | 10x-1,相当于求 10xΞ1(mod 9*L/d)
根据欧拉定理的一个推论 满足axΞ1(mod n)的最小x一定是phi(n)的因数
证明 设phi(n)=qx+y(0<y<x) ,相当于y是余数
ax Ξaphi(n)Ξaqx+yΞaqxΞ1(mod n)
所以有 ayΞ1(mod n),而y<x,所以x不是满足axΞ1(mod n)的数,所以x不是phi(n)的因数不能成为满足该式的最小整数
最后用快速幂检验一下以10为底数, phi(9*L/d)的因子为指数的值%(9*L/d)后是不是1
乘法防止爆,用快速加代替,因子当中1也要判断
代码
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> using namespace std; #define N 1010000 #define ll long long ll l,p,cnt,cot,cas,tmp; ll v[N],fac[N],prime[N]; ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;} ll ksj(ll a,ll b,ll mod) { ll ret=0; while(b) { if(b&1)ret=(ret+a)%mod; a=(a+a)%mod; b>>=1; } return ret; } ll ksm(ll a,ll b,ll mod) { ll ret=1; while(b) { if(b&1)ret=ksj(ret,a,mod); a=ksj(a,a,mod); b>>=1; } return ret; } ll phi(ll n) { ll ans=n; for(ll i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { ans=ans/i*(i-1); while(n%i==0)n/=i; } } if(n>1)ans=ans/n*(n-1); return ans; } ll factors(ll n) { cot=0;p=tmp; for(ll i=1;i*i<=n;i++) if(n%i==0) fac[++cot]=i,fac[++cot]=n/i; sort(fac+1,fac+1+cot); for(ll i=1;i<=cot;i++) if(ksm(10,fac[i],p)==1) return fac[i]; return 0; } int main() { while(scanf("%lld",&l)&&l) { cas++; tmp=9*l/gcd(l,8); if(gcd(tmp,10)!=1){printf("Case %lld: 0\n",cas);continue;}; printf("Case %lld: %lld\n",cas,factors(phi(tmp))); } }