题意
给你一个 $L$，让你找到一个只由8组成数字，可以使得 $L$可以整除它。让你输出这个数的最小位数。
思路：
因为 $888888...$可以用 $\dfrac{10^{n}-1}{9}*8$来表示，其中 $n$为这个数的位数。
所以有

$L|\dfrac{10^{n}-1}{9}*8$
即

$9*L|(10^{n}-1)*8$

令 $d=gcd(9*L,8)$
有

$\dfrac{9*L}{d}|(10^{n}-1)*\dfrac{8}{d}$

因为 $\dfrac{9*L}{d}$与 $\dfrac{8}{d}$互质

所以有

$\dfrac{9*L}{d} |(10^n-1)$

即 $10^n\equiv1(\mod\dfrac{9*L}{d})$

令 $k=\dfrac{9*L}{d}$
有

$10^n\equiv1(\mod k)$
上述模线性方程存在整数解 $n$当且仅当 $gcd(10,k=1)$。
我们要求解位数 $n$，根据如下原根的性质：
对于任意正整数 $a,m$,如果 $(a,m) = 1$,存在最小的正整数 $d$ 满足 $a^d≡1(mod \ m)$，则有 $d$ 整除 $φ(m)$，因此 $Ordm(a)$整除 $φ(m)$。这里的 $d$被称为 $a$模 $m$的阶，记为 $Ordm(a)$。
上述性质可以简单的理解为如果存在解 $n$的话，那么 $n$一定是 $φ(k)$的因子。
所以我们可以只需在 $φ(k)$的因子中用快速幂检验是否存在解即可。
注意：这里数据范围比较大，直接相乘可能会溢出，所以快速幂要配合着快速乘使用。
$AC \ Code:$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e6 ; 
inline ll fast_mul(ll a, ll b, ll Mod)
{
    ll c = a*b-(ll)((long double)a*b/Mod+0.5)*Mod;
    return c<0 ? c+Mod : c;  //就是算的a*b%Mod;
}
ll Qpow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans = 1;
    a %= p;
    while(b){
        if(b&1) ans = fast_mul(ans,a,p);
        b >>= 1;
        a = fast_mul(a,a,p);
    }
    return ans;
}
ll phi(ll n){
    ll ans = n;
    for(ll i = 2;i <= sqrt(n);++i){
        if(n % i == 0){
            ans = ans /i *(i-1);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) ans = ans /n *(n-1);
    return ans;
}
int main(){
    ll a;
    int p = 0;
    while(cin>>a&&a){
        ++p;
       ll d = __gcd(9*a,8LL);
        ll k = 9*a/d;
        if(__gcd(10LL,k)!=1) printf("Case %d: %lld\n",p,0LL);
        else {
            ll b = phi(k);
            ll ans = (ll)1e11;
            for(ll i = 1;i <= sqrt(b);++i){
                if(b % i == 0){
                    if(Qpow(10,i,k) == 1) ans = min(ans,i);
                    if(Qpow(10,b/i,k) == 1) ans = min(ans,b/i);
                }
            }
            if(ans == (ll)1e11) printf("Case %d: %lld\n",p,0LL);
            else printf("Case %d: %lld\n",p,ans);
        }
    }
}