背包问题是动态规划类求解的一个典型问题,我们要先找到该问题的局部解然后扩展到全局解。这里讲解的是0-1背包。先看一下情景,假如一个小偷携带者一个可以放10kg重的背包,潜入一户人家行窃,家里有4个物品,每个物品只有1个。即价值v[] = {
10
,
40
,
30
,
50
}
,重量w[] = {
5
,
4
,
6
,
3
}。
如果超出这个重量背包就会断,就没法带出,但是家里面有很多物品,他们对应着不同的重量和不同的价值,有的可能很轻但价值很高(比如珠宝),有的很重但价值不高,要在背包重量有限的情况下收益最大,这种问题直接看和思考,在数量不多的情况下可以找到最佳的组合,但是代码该如何实现呢?先构建一个二维数组V[N][W],行代表当前重量,列代表前?个物品,填充的数值即此时的价值,而且是当前情况下的最大价值。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
item0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
item1 | 0 | ||||||||||
item2 | 0 | ||||||||||
item3 | 0 | ||||||||||
item4 | 0 |
如表,此时行列均为0,即第0列代表重量为0时的情况,第0行代表放0个物品的时候的情况。然后我们从第1行开始继续填值,第一行代表前1个物品的情况,也就是只有第一个物品,第一个物品重5,则当前背包容量>=5时候才能放入,即第1行第1,2,3,4列价值均为0,因为此时背包无法容纳物品1。而第6列时,除了物品1还剩余1kg,但是此时是第1列,只考虑前1个物品,因此没有其余物品能放入,后面均为10。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
item0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
item1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
item2 | 0 | ||||||||||
item3 | 0 | ||||||||||
item4 | 0 |
按照这种规则继续放入第2行,此时有2个物品,重量分别为5和4,价值为10和40,在第2行的第1,2,3列中,背包容量小于这2个物品,因此无法放入,价值为0。在第4列中,出现问题了,我们现在多了一个重量为4的物品,可以放入,但是到底该不该放入呢?这时候就是解决问题的关键,我们要考虑局部最优解,在背包为4的时候,如果放入,价值是40,不放入,那么物品1也放不进去,价值为0,即与他的相同列前一行进行比较,所以这时候需要放入物品2。第5列的时候,代表当前背包能容纳5kg,已放入4kg,另一个物品重5kg,因此在4+5=9kg之前,都只能放入物品2,最大价值为40。第9列时可以放入物品1,此时背包最大价值为当前已放入价值+可容纳剩余容量的价值=50,大于其前一行的最大价值10,因此,填充如下:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
item0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
item1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
item2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 40 | 40 | 40 | 40 | 40 | 50 | 50 |
item3 | 0 | ||||||||||
item4 | 0 |
依次类推,可补充完全如下,注意第3行第9列与第10列,第9列情形和上一行类似,此时有3个物品,但是在背包容量为9时,只能放入物品1(5kg)和物品2(4kg),这就是此时的最优解。但是第10列时,此时背包容量为10,在没有物品3的时候最优解是50,可是此时,最优解是物品2和物品3放入,因为他们的价值大于50,因此第10列为70。
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
item0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
item1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
item2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 40 | 40 | 40 | 40 | 40 | 50 | 50 |
item3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 40 | 40 | 40 | 40 | 40 | 50 | 70 |
item4 | 0 | 0 | 0 | 50 | 50 | 50 | 50 | 90 | 90 | 90 | 90 |
第4行第10列即我们想要的全局最优解,此时将局部扩大到全部。返回它即得到最优解。
总结一下上面的过程,比较不加入该物品时该重量的最大价值和当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值,即和其头上的数进行比较,如果小于等于头上的,则上一个最优解就是当前最优解;如果大于头上的,则替换为当前最优解。代码如下:
/**
* 0-1背包
* @param val 价值
* @param weight 重量
* @param W 背包容量
* @return 最优解
*/
public static int knapsack(int[] val, int[] weight, int W) {
int N = weight.length; //记录所有的物品数
int[][] V = new int[N + 1][W + 1]; //创建背包矩阵
for (int col = 0; col <= W; col++) { //列,背包容量为0
V[0][col] = 0;
}
for (int row = 0; row <= N; row++) {
V[row][0] = 0;
}
for (int item = 1; item <= N; item++) { //一行一行填充值
for (int wt = 1; wt <= W; wt++) { //一列一列填充值
if (weight[item - 1] <= wt) { //如果当前物品重量小于等于背包中的当前重量 item为1是,weight[0]是第一个物品的重量
//比较不加入该物品时该重量的最大价值(前一行)与当前物品的价值+可以容纳的剩余重量的价值
V[item][wt] = Math.max(val[item-1] + V[item-1][wt - weight[item-1]],V[item-1][wt]);
} else { //如果当前物品重量大于背包中的当前重量
V[item][wt]=V[item-1][wt]; //直接使用前一行的最优解
}
}
}
/*打印矩阵
for (int[] rows: V) {
for (int col : rows) {
System.out.format("%5d",col);
}
System.out.println();
}*/
return V[N][W];
}