记忆化搜索题目总结(1)
一. 概述
算法上依然是搜索的流程,但是搜索到的一些解用动态规划的那种思想和模式作一些保存。在求解的时候还是按着自顶向下的顺序,但是每求解一个状态,就将它的解保存下来,以后再次遇到这个状态的时候,就不必重新求解了。这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点。
二. 引题
POJ1579 题目链接
if a <= 0 or b <= 0 or c <= 0, then w(a, b, c) returns 1
if a > 20 or b > 20 or c > 20, then w(a, b, c) returns w(20, 20, 20)
if a < b and b < c, then w(a, b, c) returnsw(a, b, c-1) + w(a, b-1, c-1) - w(a, b-1, c)
otherwise it returns w(a-1, b, c) + w(a-1, b-1, c) + w(a-1, b, c-1) - w(a-1, b-1, c-1)
DFS做法
long long dfs(int x, int y, int z)
{
if(x <= 0 || y <= 0 || z <= 0){
return 1;
}
if(x > 20 || y > 20 || z > 20){
x = y = z = 20;
}
if(x < y && y < z){
return dfs(x, y, z - 1) + dfs(x, y - 1, z - 1) - dfs(x, y - 1, z);
}
else{
return dfs(x - 1, y, z) + dfs(x - 1, y - 1, z) + dfs(x - 1, y, z - 1) - dfs(x - 1, y - 1, z - 1);
}
}
上述的dfs做法可以发现计算了大量的重叠子问题,如在计算dfs(4, 4, 4)和dfs(3, 4, 5)时都需要计算dfs(3, 4, 4),都会遍历dfs(3, 4, 4)这整颗子树,花费大量时间,因此我们想到将每个状态的值记录下来,以后求解时可以直接得到该值。
记忆化搜索解法
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<stdio.h>
using namespace std;
long long dp[21][21][21];
long long dfs(int x, int y, int z)
{
if(x <= 0 || y <= 0 || z <= 0){
return 1;
}
if(dp[x][y][z]){
return dp[x][y][z];
}
if(x < y && y < z){
dp[x][y][z] = dfs(x, y, z - 1) + dfs(x, y - 1, z - 1) - dfs(x, y - 1, z);
}
else{
dp[x][y][z] = dfs(x - 1, y, z) + dfs(x - 1, y - 1, z) + dfs(x - 1, y, z - 1) - dfs(x - 1, y - 1, z - 1);
}
return dp[x][y][z];
}
int main()
{
int i;
int x, y, z;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
while(1)
{
cin >> x >> y >> z;
if(x == -1 && y == -1 && z == -1)
{
break;
}
long long ans;
if(x <= 0 || y <= 0 || z <= 0){
ans = 1;
}
else if(x > 20 || y > 20 || z > 20){
ans = dfs(20, 20, 20);
}
else{
ans = dfs(x, y, z);
}
printf("w(%d, %d, %d) = %lld\n", x, y, z, ans);
}
return 0;
}
三. 例题
数字三角形
POJ1163 题目链接
给定一个由n行数字组成的数字三角形。试设计一个算法,计算出从三角形的顶至底的一条路径,使该路径经过的数字总和最大。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
思路:
定义dp[i][j]为第i行第j列到底部的最大数字和,
状态转移方程为dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + array[i][j]
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[10][10];
int d[10][10];
int dp(int i,int j,int n)
{
if(d[i][j] > 0)
return d[i][j];
if(i == n-1)
return a[i][j];
else
{
return d[i][j] = a[i][j] + max(dp(i+1,j,n),dp(i+1,j+1,n));
}
}
int main()
{
int i,j,n;
cin>>n;
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<=i; j++){
cin>>a[i][j];
}
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<=i; j++){
d[i][j]=0;
}
dp(0,0,n);
cout << d[0][0];
return 0;
}
滑雪
POJ1088 题目链接
Michael喜欢滑雪百这并不奇怪, 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,而且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9
一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度减小。
思路:
定义dp[i][j]为从第i行第j列到最后的最长长度
状态转移方程:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i+1][j], dp[i][j+1]) + 1
#include<iostream>
using namespace std;
int array[101][101];
int dp[101][101];
int r, c;
int dict[4][2] = {{-1, 0}, {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}}; //四个方向
int dfs(int x, int y)
{
if(dp[x][y] > 0){
return dp[x][y];
}
dp[x][y] = 1;
int i;
for(i=0; i<4; i++)
{
int dx = x + dict[i][0];
int dy = y + dict[i][1];
if(dx >= 1 && dx <= r && dy >= 1 && dy <= c)
{
if(array[dx][dy] < array[x][y])
{
dp[x][y] = max(dp[x][y], dfs(dx, dy) + 1);
}
}
}
return dp[x][y];
}
int main()
{
int i, j, k;
cin >> r >> c;
for(i=1; i<=r; i++)
for(j=1; j<=c; j++)
{
cin >> array[i][j];
}
int maxx = 0;
for(i=1; i<=r; i++)
for(j=1; j<=c; j++)
{
int cur = dfs(i, j);
if(cur > maxx){
maxx = cur;
}
}
cout << maxx << endl;
}
矩形嵌套
nyoj16 题目链接
有n个矩形,每个矩形可以用a,b来描述,表示长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a < c, b < d或者b < c, a < d(相当于旋转X90度)。例如(1,5)可以嵌套在(6,2)内,但不能嵌套在(3,4)中。你的任务是选出尽可能多的矩形排成一行,使得除最后一个外,每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内。
定义d[i]为第i个矩阵可嵌套的最大个数,b[i][j]为第i个矩阵是否可以嵌套进第j个矩阵。
状态转移方程:d[i] = max(d[j] ) + 1,其中b[i][j] = 1;
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
int a[1001][2];
int b[1001][1001]; //邻接矩阵
int d[1001];
int dp(int i, int n)
{
if(d[i] > 0)
return d[i];
int j;
d[i] = 1;
for(j=0; j<n; j++)
{
if(b[i][j] == 1)
{
d[i] = max(d[i], dp(j,n)+1);
}
}
return d[i];
}
//先构造图
void init(int n)
{
int i, j;
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<n; j++)
{
if((a[i][0] < a[j][0] && a[i][1] < a[j][1]) ||
(a[i][0] < a[j][1] && a[i][1] < a[j][0]))
b[i][j] = 1;
}
}
int main()
{
int N, n, i, j, k, max=0;
cin >> N;
for(i=1; i<=N; i++)
{
max = 0;
cin >> n;
for(j=0; j<n; j++)
cin >> a[j][0] >> a[j][1];
for(j=0; j<n; j++)
for(k=0; k<n; k++){
b[j][k] = 0;
}
for(j=0; j<n; j++){
d[j] = 0;
}
init(n);
for(j=0; j<n; j++){
dp(j,n);
}
for(j=0; j<n; j++){
if(d[j] > max)
{
max = d[j];
}
}
cout << max << endl;
}
}
硬币问题
题目:有n种硬币,面值分别为V1,V2,…Vn,每种都有无限多。给定非负整数S,可以选用多少个硬币,使得面值之和恰好为S?输出硬币数目的最小值。
思路:
定义d[s]为面值s到面值0最少可用的硬币数目
状态转移方程:d[s] = max(d[s - v[i]] + 1),其中s >= v[i];
int dfs(int s)
{
if(vis[s]){
return dp[s];
}
dp[s] = -(1 << 30);
int i;
for(i=0; i<n; i++){
if(s >= v[i])
{
dp[s] = max(dp[s], dfs(s - v[i]) + 1);
}
}
return dp[s];
}
New Year and Fireworks
具体可参看Codeforces Good Bye 2016部分题解 第四题
参考文献:《算法竞赛入门经典》