渐进符号

渐进符号介绍

• $O()$， $f(n)=O(g(n))$表示存在适当的常数 $c>0,n_0>0$，使得 $f(n)\le cg(n)$，比如 $n^2=O(n^3)$
• $\Omega()$， $\Omega(g(n))=f(n)$表示存在适当的常数 $c>0,n_0>0$，使得 $0 \le cg(n) \le f(n)$，比如 $\sqrt{n}=\Omega(lgn)$
• $\Theta()=O(g(n)) \cap \Omega(g(n))$，忽略常数项的相等，比如 $n^2+O(n) =\Theta(n^2)$
• $o()$， $f(n)=o(g(n))$表示对于任意 $c$存在适当的常数 $n_0>0$，使得 $f(n)<(n)$，比如 $2n^2=o(n^3)$， $\frac{n^2}{2}=\Theta(n^2)$不是 $o、\omega$关系，因为它是严格的 $n^2$
• $\omega()$， $\omega(g(n))=f(n)$表示对于任意 $c$存在适当的常数 $n_0>0$，使得 $0 < cg(n) < f(n)$，比如 $\sqrt{n}=\omega(lgn)$

解递归

代换法(Substitution method)

介绍

• 猜解的形式
• 按照数学归纳法验证是否正确
• 设法找出解

举例

比如， $T(n) = 4T(n/2) + n$，猜想 $T(n)=O(n^3)$，则在 $k<n$下 $T(k) \le ck^3$，利用数据归纳证明 $T(n) \le cn^3$。

下面尝试证明更紧的上界 $O(n^2)$

所以不能小于等于 $n^2$，但从直观上看 $n^2$的形式应该成立，所以考虑

递归树(Recursion-tree method)

介绍

• 执行成本高
• 可以辅助代换法第一步猜想解
• 有点不可靠，中间过程迭代容易有点问题

举例

$T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n^2$，
用树的形式展开递归

主方法(master method)

介绍

只能用于特定的递归式 $T(n) = aT(n/b) + f(n),a\ge 1,b>1,f$函数渐进趋正（对足够大的n, $f(n)$是正的）。
三种常见的情况：

举例

推导