算法 渐近符号，递归和解法

本书是基于渐近符号，递归及其解法第二节课的总结。主要分析了三种渐近符号看，以及三种解递归的方法

渐近符号

$\Omega(n^2)$表示当n足够大的时候，运行时间一定小于 $n^2$，是下界
$\Omicron(n^2)$表示小于当n足够大的时候，运行时间一定小于 $n^2$，是上界
$\Theta(n^2)$表示一种紧约束，运行时间与 $n^2$成正比，当且仅当 $f(n) = \Omicron(n^2) and f(n) = \Omega(n^2)$
还有 $\omicron$ 表示小于， $\omega$表示大于

递归的三种解法

其中代换法很蠢，我们基本用不到，当我们分析的时候主要使用递归树和主方法，主方法还可以倒推来设计算法

代换法

有这样一个递归的式子： $T(n) = 4T(\frac{n}{2})+n$
Two step：guess，assume and verify
guess: $T(n) = \Omicron(n^3)$
assume and verify: replace of $T(n)$ and $T(n/2)$ with $\Omicron(n^3)$ and verify whether the equation is satisfied
接下来会使用其它的假设来寻找更加接近的结果

递归树

recursive tree 是最简单和直接的方法
有这样一个递归的式子： $T(n) = T(n/4) + T(n/2) + n^2$
next I will use left represent left child of the root and right…
the root is $n^2$ the left is $T(n/4)$ , the right is $T(n/2)$
then we will replace the leaf T(n/4) with $T(n/16) + T(n/8) + {n/4}^2$ and the same as &T(T/2)&
Finally we will get a recursive tree like this:

我们可以由级数的公式求出最终的结果

主方法

主方法有很多的限制，首先它是针对形如这样的式子的解法 $T(n) = aT(n/b) + f(n)$ and $f(n) > 0\ \ when\ \ \ n > n_0$
有如下的情况：
case1:
for $f(n) = \Omicron(n^{\log_ba-\varepsilon})$ $for\ some\quad k >= 0$
$T(n) = \Theta(n^{\log_ba})$
case2:
$f(n) = \Theta(n^{\log_ba}(\log_2n)^k)$ $for\ some\quad k >= 0$
$T(n) = \Theta(n^{\log_ba}(\log_2n)^{k+1})$
case3:
$f(n) = \Omega(n^{\log_ba-\varepsilon})$ $for\ some\quad k >= 0$ and $\ af(n/b) < (1-\varepsilon)f(n)$
$T(n) = \Theta(f(n))$
一些应用会在下一节给出