1

一张圆桌周围 $n$ 把椅子，留下 $k$ 把，且任意两个椅子不相邻。求本质不同的方案数。如果对于两个方案，其中的一个不能通过旋转或翻转得到另一个，那么称他们本质不同。

根据 burnside 引理，等价类数量等于置换不动点数量的平均数。我们枚举一个旋转的置换，例如旋转了 $x$ 步，那么在这个置换下就有 $gcd(x,n)$ 个循环节，长度都为 $d=\frac n{gcd(x,n)}$。每个循环节状态应该相同。因此如果 $d|k$，那么我们就要在所有循环节中选出 $num=\frac k d$ 个，并且不相邻。发现如果相邻的循环节之间连边，那么这张图还是一个环。我们先随便找个地方断开，变成序列上不相邻，最后减去同时选首尾的。因此方案数为 ${gcd(x,n)-num+1\choose num}-{gcd(x,n)-num+3\choose num-2}。$序列上不相邻的做法类似隔板法，先拿出 $num-1$ 个球，最后插回去。

对于环，需要讨论 $k$ 和 $n$ 的奇偶。

2

有 $m$ 种颜色的珠子。有三种操作：旋转、翻转、转换操作.。转换操作会将所有珠子的颜色编号加1,。特别地, 对于所有颜色编号为 $m$ 的珠子, 它们的颜色编号会变为1。 如果一个项链A在经过任意的旋转, 翻转, 颜色转换之后变为了项链 B，则称 A 和 B 是等价的。 求有多少个本质不同的项链。

又加了转换操作。一个想法是不改变置换群，统计答案的时候考虑转换。另一种想法是扩大置换群。发现第二种比较靠谱。我们把置换群群扩大到 $2*n*m$ 个。例如我们旋转了 $i$ 步，转换了 $d$ 次，首先要满足同一循环节前一个颜色比后一个小 $d$，并且 $d·\frac n {gcd(i,n)}=0~(mod~m)$，因为转一圈要变回自己的颜色。我们想要计算一下在一个 $i$ 下有多少合法的 $d$。令 $z=\frac n{gcd(i,n)}$，化简一下式子：

由于 $d\in[1,m]$，因此在当前 $i$ 下有 $(m,z)$ 个合法的 $d$。所以我们的总方案数长这样：

好像还要写一个 Pollard_Rho…