10.3.4危险的组合

描述：

有一些装有铀（用U表示）和铅（用L表示）的盒子，数量足够多。要求把n个盒子放成一行，但至少有3个U放在一起，有多少种放法？n<=30。

分析：

设答案为f(n)。既然有3个U放在一起，可以根据这3个U的位置分类——哦不对，根据前面的经验，要根据“最左边的3个U”的位置分类。假定是i，i+1和i+2这3个盒子，则前i-1个盒子不能有3个U放在一起的情况。设n个盒子“没有3个U放在一起”的方案数为 $\small g(n)=2^{n}-f(n)$ ,则前i-1个盒子的方案有g(i-1)种。后面的n-i-2个盒子可以随便选择，有 $\small 2^{n-i-2}$ 种，根据乘法原理和加法原理， $\small f(n)=\sum_{i=1}^{n-2}g(i-1)2^{n-i-2}$ 。

遗憾的是，这个推理是有瑕疵的。因为上面的最左边的3个U假定是i，i+1和i+2这3个盒子，“最左边”说明在这前面就没有3个U在一起，而g(i-1)代表的是1到i-1个盒子没有3个U放在一起”的方案数。即使这里面没有3个U在一起，但如果第i-1个盒子是U的话，那么就与i，i+1组成3个U，这与最初的最左边的3个U是i，i+1和i+2这3个盒子矛盾。因此必须加上条件限制，即强制让第i-1个盒子（如果有）放L，这样就变成

$\small f(n)=2^{n-3}+\sum_{i=2}^{n-2}g(i-2)2^{n-i-2}$ ，边界是f(0)=f(1)=f(2)=0,g(0)=1,g(1)=2,g(2)=4.式中的 $\small 2^{n-3}$ 对应于i=1的情况

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