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本系列文章使用的教材为《矩阵论》(第二版),杨明,刘先忠编,华中科技大学出版社。
为什么引入子空间
线性空间Vn(F)中的V是一个集合,集合的子集会设计并交等运算关系,在讨论这些关系的性质时,需要引入新的概念。
子空间定义
从定义,我们注意几点:
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W是V的非空子集
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W对V空间定义的加法和数乘封闭
注:两个平凡子空间:一个是V自身,还有一个是零元即w={0}。
判定W是V的子空间
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证明W对V空间定义的加法和数乘封闭
两个特殊的子空间——零空间与列空间
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零空间:N(A)
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列空间:R(A)
也就是说
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零空间是AX=0的解空间,要求N(A)只要求基础解系
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列空间是A的值域,n个m维的列向量。
子空间的运算
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W1∩W2,W1∪W2,W1+W2
注意:
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因为W1∩W2仍然是一个子空间,所以0∈W1∩W2,即W1∩W2≠Ф
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W1∪W2不是V的子空间。
维数公式
特殊情况:当dim(W1∩W2)={0},因为dim({0})=0,所以dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)。
其实这种特殊情况就是直和子空间,下面我们来看一看定义。
此定义与和空间的定义是多了一个特殊条件dim(W1∩W2)={0}。
对于直和子空间有以下等价条件