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直观的讲,一个多边形就是二维平面上被一系列首尾相接、闭合的折线段围成的区域。在程序中一般用顶点数组表示。其中各个顶点按照逆时针顺序排列。
给定一个多边形和一个点,如何判断该点是否在多边形内?主要有两种方法,一个是射线法,一个是转角法。我们这里主要介绍转角法,因为这个方法比射线法更方便。
基本思想就是看多边形相对于这个点转了多少度。我们把多边形每条边的转角加起来,如果是360度,说明在多边形内,如果是0度,说明在多边形外,如果是180度,说明在多边形的边界上。
但是如果直接按照定义实现,需要计算大量的反三角函数,不仅速度慢,而且容易产生精度误差。所以我们可以假想有一条向右的射线,统计多边形穿过这条射线正反多少次,把这个数记为绕数wn(Winding Number),逆时针穿过时,wn加1,顺时针穿过时,wn减1.
注意在程序实现的时候,判断是否穿过,以及穿过方向时,需要用叉积判断输入点在边的左边还是右边。
具体实现:
typedef vector<Point> Polygon ; //定义多边形,为许多顶点的集合
int isPointInPolygon(Point p, const Polygon &poly)
{
int n, i, j, wn, k, d1, d2;
wn = 0;
n = poly.size();
for(i = 0; i < n; i++)
{
j = (i+1) % n;
if(isPointOnSegment(p, poly[i], poly[j])) //在边界上
return -1;
k = dcmp(Cross(poly[j]-poly[i], p-poly[i])); //在左边还是在右边
d1 = dcmp(poly[i].y - p.y); //判断p与第一个点的y值
d2 = dcmp(poly[j].y - p.y); //判断p与第二个点的y值
if(k>0 && d1<=0 && d2>0) //在边的左边,并且y值大于等于第一个点,小于第二个点,为逆时针穿过
wn++;
if(k<0 && d2<=0 && d1>0) //在边的右边,并且y值大于等于第二个点,小于第以个点,为顺时针穿过
wn--;
}
if(wn) //内部
return 1;
else //外部
return 0;
}