差分运算
- 一阶差分:
∇xt=xt−xt−1
- P阶差分:
∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1
- k步差分:
∇k=xt−xt−k
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针,当前序列诚意一个延迟算子,就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻
记 p 为延迟算子,则有
Xt−p=BpXt,∀p≥1 , 则有:
一阶差分:
∇xt=xt−xt−1=(1−B)xt
二阶差分:
∇2xt=∇xt−∇xt−1=(xt−xt−1)−(xt−1−xt−2)=xt−2xt−1+xt−2=(1−2B+B2)xt=(1−B)2xt
p阶差分:
∇pxt=∇p−1xt−∇p−1xt−1=(1−B)Pxt=∑i=0p(−1)pCpix(t−i)
k步差分:
∇k=xt−xt−k=(1−Bk)xt
延迟算子的性质
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧B0=1B(c⋅xt)B(xt±yt)Bnxt(1−B)n=c⋅B(xt)=c⋅xt−1,c为任意常数=xt−1±yt−1=xt−n=i=0∑n(−1)nCniBi,其中Cni=i!(n−i)!n!
线性差分方程
zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=h(t)
齐次线性差分方程
zt+a1zt−1+a2zt−2+...+apzt−p=0
齐次线性差分方程的解(利用特征方程求解)
用
λp 替代
zt , 得到
λp+a1λp−1+a2λp−2+...+ap=0
特征方程的根称为特征根,记作
λ1,λ2,...,λp
齐次线性差分方程的通解
- 不相等实数根场合
zt=c1λ1t+c2λ2t+...+cpλpt
- 有相等实根场合
zt=(c1+c2t+...+cdtd−1)λ1t+cd+1λd+1t+...+cpλpt
- 复根场合
zt=rt(c1eitω+c2e−itω)+c3λ3t+...+cpλpt
非齐次线性差分方程的特解
zt′′ (使得非齐次线性差分方程城里的任意一个解)
zt′′+a1zt−1′′+a2zt−2′′+...+apzt−p′′=h(t)
非齐次线性差分方程的通解
zt
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和
zt=zt′+zt′′